Некоторые отзывы печати.

«Хинтон обсуждает вопрос ο высшей измеримости пространства, а так как он избегает всяких математических и технических тонкостей, то его аргументация становится доступною и для читателей, недостаточно сведущих в математике».

«Notts Guardian».

» Четвертое измерение представляет собою предмет, очаровывавший многих математиков. Можно не вполне постигать мысли и доводы Хинтона, но нельзя не признать, что он разоблачает призрачную идею в исключительно ослепительном свете. Независимо от главного содержание книги, многие главы представляют большой самостоятельный интерес. В общем это любопытная книга, умно и искусно написанная».

«Dundee Courier».

» Кто любит работать в области отвлеченной мысли, тот будет хорошо вознагражден за труд, положенный на сведение знакомства с этой книгой».

«Scotsman».

«Профессор Хинтон хорошо сделал, предприняв этот трактат, который одновременно легок и доступен по своему методу изложение и свободен от школьных технических терминов

«Pall Mall Gazette».

«Сочинение Хинтона об этом предмет чрезвычайно интересно».

» Publishers’ Circular».

«Хинтон старается изложить теорию четвертого измерение таким образом, чтобы обыкновенный здравый ум мог легко составить себе понятие, что под таким измерением разумеет метафизик-математик. Если ему это не вполне удается, то никак не вследствие недостатка ясности в его изложении, но только потому, что вся эта теория является безусловным потрясением для всяких предвзятых идей».

«Bristol Times».

«Энтузиазм Хинтона является лишь результатом того глубокого изучение предмета, которое дало ему возможность изложить свои взгляды перед читателями с такой необычайной ясностью».

«Pall Mall Gazette».

«Вся книга представляет собрание ценных умозрений в области высмей математики».

«Glasgow Herald».

«И(то хочет вникнуть в смысл этого несколько мудреного предмета, пусть прочтет «Четвертое Измерение». От читателя не требуется никаких математических познаний и каждый, кто не боится некоторого напряжение мысли, в состоянии следовать за ходом рассуждения».

«Light».

«Великолепное изложение древней проблемы ο четвертом измерении! Каждый, кто интересуется этим предметом, найдет это сочинение не только обаятельным, но и блестящим, в такой степени оно удобопонятно изложено. Иллюстрации оживляют текст еще более и все вместе удивительно согласовано с требованиями изучающих вопрос впервые».

«Two Worlds».

«Кто ищет умственной гимнастики, найдет ее достаточно в Четвертом Измерении Хинтона».

«Westminster Review».

ГЛАВА I. Четырехмерное пространство.

Нет ничего более неопределенного и, в то же время, нет ничего более реального, чем то, что мы подразумеваем, когда говорим ο чем-нибудь «высшем». В нашей социальной жизни мы видим, что справедливость сказанного свидетельствуется большей сложностью отношений. Но этой сложностью дело не ограничивается. Существует в то же время некоторое соприкосновение с чем-то, некоторое познавание чего-то более основного, более реального.

По мере развитие человека приходит сознание ο чем-то большем, чем все формы, в каких оно обнаруживается. Существует готовность отказаться от всего видимого и осязаемого ради тех начал и ценностей, внешностью лишь которых является все видимое и осязаемое. Физическая жизнь цивилизованного человека и простого дикаря практически та же; но цивилизованный человек открыл известную глубину в своем существовании, которая дает ему почувствовать, что то, что кажется «всем» для дикаря, есть лишь просто внешность и придаток к нашему истинному бытию.

Итак, это высшее — как мы должны его понимать? обыкновенно оно обнимается нашими религиозными способностями, нашими идеалистическими влечениями. Но высшее существование имеет две стороны: оно подразумевает и бытие, и свойства. Стараясь осознать его путем наших душевных переживаний, мы всегда становимся на субъективную точку зрение. Наше внимание всегда останавливается на том, что мы чувствуем, что мы думаем. Существует ли, однако, путь познавание «высшего» чисто объективным методом, свойственным вообще естествознанию? Я полагаю, что существует.

Платон, в чудной аллегории, рассказывает ο некоторых людях, живших в таких условиях, которые практически низводили их на степень обитателей мира теней. Они были прикованы, таким образом, что могли видеть лишь свои тени и тени всех прочих предметов на стене, к которой они были довернуты лицом. Все движение представлялись им лишь движениями на поверхности; все формы были для них лишь теневыми бестелесными очертаниями.

Платон прибегает к этой иллюстрации для изображение отношение между истинным бытием и иллюзиями нашего мира чувств. Он говорит, что подобно тому, как человек, освободившийся от своих цепей, мог узнать, что мир представляет нечто плотное и реальное и мог, вернувшись к своим скованным товарищам, сообщить им ο существовании этой высшей реальности, так и философ, который освободился от предвзятых мнений, который ушел мысленно в идеальный мир, в мир идей высших и более реальных, чем мир впечатлений, воспринимаемых чувствами, может сообщить своим собратьям ο том, что является более истинным, чем видимое солнце, и более великолепным, чем самые Афины, видимый город.

Так вот, я пользуюсь мыслью Платона и принимаю ее не в качестве метафоры, а в буквальном смысле. Платон воображает мир, который ниже нашего мира и который состоит из теневых фигур и теневых движений; такому миру он противопоставляет действительный мир. В каком отношении находится наш действительный мир к миру теней, в таком же отношении находится и высший мир к нашему миру. Я принимаю его аналогию. Как наш трехмерный мир относится к миру теней, или миру плоскости, так высший мир относится к нашему трехмерному миру. Если высший мир четырехмерен, то понятие ο высшем бытии, — поскольку вопрос касается только его существование, особо от его качеств, — нам следует стараться получить при посредстве понятие ο действительном существовании пространственно высшем, в сравнении с тем пространством, с которым мы знакомы при помощи своих чувств.

Здесь, заметьте, я, по необходимости, пропускаю все, что придает интерес и прелесть очарование произведение Платона, — все эти идеи ο прекрасном и ο благе вообще, которые в области литературы останутся бессмертными.

Все, что я заимствую из его сокровищницы, заключается в одной простой вещи — это мир пространственно высший, чем наш мир, — мир, к которому можно приблизиться только сквозь его сырой материал, мир, который надлежит постигать упорно, терпеливо, при помощи свойственных ему вещей и свойственных ему форм, движений, образов.

Мы должны научиться представлять себе формы предметов в этом мире высшего человека; мы должны ознакомиться с движениями, свойственным предметам в его мире, чтобы кое-что заключить об его впечатлениях, об его мнениях ο материальных предметах и ο механизме его строение.

Средства для производства такого исследование даны в самом понятии ο пространстве.

Часто случается, что то, что мы принимаем за единственное в своем роде и безотносительное, дает нам в самом себе те отношение, при помощи которых мы в состоянии его оценивать по отношению к другим вещам, и, таким образом, определять и его самого и другие вещи.

Например, на земле существует феномен тяжести, при помощи которого Ньютон вычислил истинное соотношение между землею и солнцем и различными планетами. Наш земной шар был определен по отношению к другим телам солнечной системы посредством отношение, существовавшего на самой земле.

Подобным же образом само пространство заключает в себе отношение, при помощи которых мы можем его определит по отношению к другому пространству, так как с пространством связаны понятие ο точке и линии, линии и плоскости, которые, действительно, заключают в себе отношение пространства к высшему пространству.

Где один отрезок прямой линии кончается и начинается другой отрезок, там будет точка; и сама прямая линия может быть произведена движением точки.

Одна часть плоскости отграничивается от другой — прямой линией; и сама плоскость может быть произведена движением прямой линии по направлению, не заключающемуся в ней.

Точно также две части кубического пространства ограничиваются одна по отношению к другой — плоскостью; а плоскость, движущаяся в направлении, не заключающемся в ней самой, может произвести кубическое пространство.

Таким образом, подвигаясь вперед, мы можем сказать, что наше пространство есть то, что ограничивает две части высшего пространства одно от другого и что наше пространство производит высшее пространство, двигаясь в направлении, которое не заключается в нем самом.

Другое указание на природу четырехмерного пространства можно получить, разбирая проблему некоторого распределение предметов.

Положим, что мы имеем несколько шпаг различной степени яркости в, их полировке; можно представить их в отношении этого качества точками, расположенными вдоль прямой линии.

Если мы обозначим в А, фиг. 1, место соответствующее яркости одной из шпаг, то точки, соответствующие степени яркости прочих шпаг, расположатся вдоль прямой линии, подобно A, В, С и т. д.

Если примем во внимание другое качество шпаг, например, их длину, то таковую можем изобразить на плоскости. Исходя из А, В, С, мы можем найти точки, соответствующие различной длине шпаг вдоль линий AF, BD, СЕ, проведенных из точек A, Β и С. Точки на этих линиях отметят различную меру длины и соответственную степень яркости каждой шпаги. Таким образом, на плоскости представляется возможным изобразить всякие оттенки блеска, или яркости шпаг и меру их длины.

Желая представить третье качество, положим степень отточенности шпаг, мы можем, как показано на фиг. 3, поставить нужное число вертикальных линий. Пусть отложенные расстояние вдоль этих вертикальных линий соответствуют степени отточенности шпаг; тогда точки F и G будут представлять известные, определенные степени трех упомянутых качеств шпаг, а все пространство будет служить для изображение всех возможных степеней этих трех качеств.

Если теперь мы внесем четвертое качество, такое, например, как вес, и попробуем изыскать средства для его изображение, подобным же образом, как изобразили первые три качества, то мы встретим затруднение. Оказывается, каждая точка в пространстве уже занята тем или иным возможным сочетанием трех взятых качеств.

Для того, чтобы указанным путем изобразить четыре качества, нам необходимо новое протяжение в пространстве.

Таким образом, мы можем указывать на природу четырехмерного пространства, утверждая, что это такой род пространства, который дает положение для обозначение четырех качеств, подобно тому, как трехмерное пространство дает положение для обозначение трех качеств.

ГЛАВА II. Аналогия с миром плоскости.

Рискуя быть несколько многословным, я должен углубиться в переживаемый опыт гипотетического существа, принужденного ограничиваться жизнью на плоской поверхности. Таким путем мы получим известную аналогию, которая нам пригодится при последующих исследованиях. Совершающийся переворот в наших понятиях в момент перехода от форм и движений, наблюдаемых в мире двухмерном, к формам и движениям трехмерного мира, послужит нам образчиком для дальнейшего следование к понятию ο существовании в четырехмерном пространстве.

Кусочек бумаги на гладком столе доставит нам удобное изображение двухмерного существование. Если мы предположим, что подобное существо, представляемое куском бумаги, не имеет никакого понятие ο своей толщине, вследствие которой оно возвышается над поверхностью стола, то, очевидно, оно не будет в состоянии составлять какое-либо понятие и ο предметах подобного ему рода иначе, как посредством соприкосновение с их краями. Тело его и объекты его мира обладают толщиною, которая не производит никакого впечатление на его сознание. Так как направление, простирающееся перпендикулярно к поверхности стола, для него неизвестно, оно станет думать об объектах своего мира, как простирающихся только в двух направлениях. Фигуры для него вполне ограничиваются линиями, подобно тому, как твердые тела для нас ограничиваются своими поверхностями. Оно не может представить себе приближение к центру круга иначе, как через окружность, потому что окружность содержит в себе центр по единственным направлениям, по которым движение для него возможно. Плоская поверхность, по которой оно скользит и с которой оно всегда соприкасается, будет для него непознаваема, так как не существует для него никаких отличительных признаков, по которым оно могло бы узнать об ее существовании.

Но, для целей нашей аналогии, этих соображений недостаточно.

Существо, таким образом описанное, ничего не имеет кругом себя, что побуждало бы его двинуться с места; поверхность, по которой оно скользит, не представляет никаких оснований для предпочтение движение в одном каком-нибудь направлении. Помещаясь на поверхности, по которой оно свободно скользит, оно находится в таком же почти положении, в каком мы сами очутились бы, если бы были свободно подвешены в пространстве. Нет ничего, что могло бы побудить его сойти с места в каком-либо известием ему направлении.

Изменим несколько, поэтому, представленную нами картину. Вообразим себе вертикальную плоскость, по которой скользят частицы тонкой материи, никогда не оставляя ее поверхности. Пусть эти частицы обладают силой взаимного притяжение и совместно образуют круг; этот круг будет изображать как бы шар для существа, совмещающегося с плоскостью. Последнее следует понимать как бы существующим на краю или на ободке круга.

Пусть 1 изображает, на фиг. 4, плоский вертикальный круг и 2 плоское существо на нем, стоящее на его крае, подобно тому, как мы стоим на поверхности нашей земли. Направление силы притяжение вещества круга научит существо познавать, что такое «верх» и «низ» и определит для него одно направление в его плоском пространстве.

Сверх того, так как существо может двигаться вдоль поверхности своей земли, то оно станет еще различать параллельное направление к его поверхности, которое мы можем назвать «вперед» и «назад».

Вместе с тем оно вовсе не выработает понятие ο направлении «вправо» и «влево», направлении, которое мы сознаем проектирующимся вправо и влево от плоскости.

Для того, чтобы поставить себя в условие плоского существа, мы должны предположить различие между понятиями правый и левый — несуществующим.

Пусть читатель вообразит, что он смотрит вдоль плоскости, фиг. 4, и отожествляет себя более и более с тонким существом на ней, пока, наконец, глядя вдоль параллели к поверхности плоской земли, а также — вверх и вниз, не потеряет чувства направление, распространяющегося вправо и влево. Это направление будет для него направлением неизвестным.

Наши идеи ο пространстве столь тесно связаны с теми идеями, которые в нас возникают вследствие существование тяготение, что трудно вообразить себе состояние плоского существа, не представляя его вместе с тем в материальных условиях существование, с определенным направлением вверх и вниз. Отсюда вытекает для нас необходимость некоторой, тщательно выработанной системы представление вещей в уме; когда значение такой системы будет вполне оценено, можно и обойтись без нее впоследствии, заменив ее более простым представлением ο тонком предмете, скользящем по гладкой поверхности, лежащей перед нами.

Очевидно, мы должны предположить нечто для объяснение того обстоятельства, благодаря которому плоское существо держится в соприкосновении с поверхностью, по которой оно скользит. Самое простое в данном случае -это удовлетвориться предположением, что существует поперечное тяготение, в силу которого оно удерживается на плоскости. Это тяготение мы должны представлять себе, как незаметное для плоского существа и отличное от того притяжение, которое обусловливается его материальностью.

На этой ступени нашего исследование я не намереваюсь входить в объяснение, каким образом плоское существо могло бы достигнуть понятие ο третьем измерении; просто я хочу ознакомиться с его сознанием.

Очевидно, что умственный кругозор обитателя плоскости должен быть очень ограниченный. Прямая линия, направленная вверх от поверхности его земли, служит уже препятствием его движению вперед. Предмет, вроде колеса или веретена, вращающийся вокруг своей оси, был бы непознаваем для него, так как нельзя вообразить, каким путем оно могло бы достигнуть центра, не проникнув через окружность. Такое существо, совмещающееся с плоскостью, может представить себе движение от какой-либо точки своего пространства до другой точки только посредством двух прямых линий, перпендикулярно пересекающихся.

Пусть такими двумя линиями будут оси АХ и AΥ, на фиг. 5. Оно может совершить перемещение из A в B, следуя вдоль АХ до С и затем из С вдоль параллельной линии AY.

Тот же результат, конечно, может быть достигнут движением по линии AY до D и затем по параллельной АХ из D до Β или каким-нибудь диагональным движением, составленным из этих двух осевых движений.

Посредством движений, параллельных этим двум осям, оно может передвигаться из любой точки своего пространства до любой другой точки, исключая тех случаев, когда встретит материальные препятствие.

Если и теперь предположим третью линию, проведенную из точки A под прямым углом к плоскости, то, очевидно, ни одно из движений по двум направлениям, знакомым ему, нисколько не поведет его к следованию по направлению AZ.

Линии AZ и АХ определяют плоскость. Если оно будет снято с его плоскости и перенесено на плоскость AXZ, оно очутится в мире точь-в-точь таком же, как и его собственный. От каждой линии в его мире отходит пространственный мир, совершенно сходный с его миром.

Из каждой точки в его мире может быть проведена параллельная линия к линии AZ в направлении, для него неведомом. Если мы предположим, что квадрат, на фиг. η, представляет точный геометрический квадрат, то, как внутри его, так и на контурах, можно провести параллельные линии к AΖ. Совокупность этих линий составит кубическую фигуру, основанием которой послужит квадрат на плоскости. Если мы примем, что квадрат представляет некоторый предмет в мире плоского существа, то мы должны допустить, что он обладает некоторой, хотя бы очень незначительной, толщиной, потому что каждый действительный предмет должен обладать всеми тремя измерениями. Само это плоское существо толщины не усматривает и принимает действительный предмет за геометрический квадрат. Оно принимает его только за площадь и не видит в нем никакой массивности. Края, которые выступают несколько из под плоскости, оно принимает просто за длину, а не за толщину, —  каковы, в действительности, геометрические линии.

С первым шагом на пути ознакомление с третьим измерением плоское существо убедилось бы, что оно составило себе раньше неправильное понятие ο природе своих материальных вещей. Оно принимало их за геометрические фигуры ο двух измерениях. Если третье измерение существует, то такие фигуры не способны существовать реально. Таким образом, оно допустило бы, что все его реальные предметы обладают некоторою, хотя и очень маленькою, толщиною в направлении неизвестного измерение и что условие его существование требуют предположение ο существовании больших размеров полосы материи, соприкосновение с которою никогда не теряют все его предметы при своем движении.

Аналогичными идеями и мы должны руководиться, предположив существование четырехмерного пространства. Мы должны предположит направление, указать которое мы не в состоянии, но которое простирается от каждой точки нашего пространства. Мы должны провести отличие между геометрическим кубом и кубом реальной материи. Мы должны предположить, что куб нашей материи имеет некоторое реальное протяжение в неизвестном для нас направлении, но столь незначительное, что оно нами не замечается. Из каждой точки внутри и на поверхности куба мы должны воображать возможным, провести линию в неизвестном для нас направлении. Совокупность этих линий составила бы высший куб. Линии, исходящие с поверхности куба в неизвестном направлении, могут составить куб, соответствующий этой поверхности. Все, что мы можем различить из этого высшего куба в нашем пространстве, составляет лишь его поверхность.

Затем, подобно тому, как плоское существо может представить себе какое-либо движение лишь по двум осям, так мы, в свою очередь, можем представить себе какое-либо движение в нашем трехмерном пространстве лишь посредством трех осей. Нет ни одной точки в нашем пространстве, к которой мы не могли бы двигаться посредством сочетание движений, означенных направлениями этих осей.

Допустив четвертое измерение, мы должны предположить существование четвертой оси, которую назовем AW. Она должна быть перпендикулярно к каждой из трех первых осей AX, AY, AZ. Подобно тому, как две оси AΧ, AZ определяют плоскость, подобную той первой плоскости, на которой мы предположили плоское существо, причем вторая плоскость отходит от первой, встречаясь с ней в одной лишь линии, — так и в нашем пространстве, какие бы мы ни взяли три оси, например, AΧ, AY и AW, они определят пространство, совершенно подобное нашему мировому пространству. Это новое пространство отходит от нашего, но если б мы были в него перенесены, то мы нашли бы себя в пространстве совершенно подобном нашему.

Мы должны отказаться от всякой попытки представить себе это пространство по отношению к нашему Пространству, подобно тому, как плоское существо должно было бы отказаться от попытки представить себе плоскость под прямым углом к своей плоскости.

Это пространство и наше отходят в различных направлениях от плоскости AΧ, AY. Они встречаются в этой плоскости, но ничего больше не имеют общего, подобно тому, как плоские пространства AΧ, AY и AΧ, AZ простираются в разных направлениях и имеют лишь линию АХ общею.

Не останавливаясь на обсуждении того обстоятельства, каким образом плоское существо могло бы составить себе какую-либо теорию ο трехмерном существовании, ‘посмотрим, как, при тех средствах, какие имелись бы в его распоряжении, оно могло бы представить себе свойства трехмерных предметов.

Плоское существо может представлять себе наши твердые тела двояким образом. Оно может думать ο кубе, фиг. 8, как ο чем-то состоящем из множества сечений параллельных его плоскости, расположенных последовательно одно за другим в направлении третьего измерение, причем каждое из них несколько дальше от его плоскости, чем предыдущее. Или же оно может представлять себе эти сечение, как ряд фигур, лежащих в его плоскости; но, представляя их себе таким образом, оно нарушает связь между ними и всякое сочетание их в высшую фигуру. Ряд квадратов A, В, С, D, представляет сечение куба параллельные плоскости, но они расположены не на соответственных местах по отношению друг к другу.

Плоское существо может вообразить себе движение в направлении третьего измерение, только допустив постоянные скачки от одного сечение к другому. Таким образом, движение вдоль края куба слева направо представлялось бы в ряду сечений в плоскости, как последовательный ряд углов сечений A, В, С, D. Точка, движущаяся из A через BCD в нашем пространстве, должна была бы представляться в плоскости, как появляющаяся последовательно в А, потом в Β и т. д., не проходя через промежуточное пространство плоскости.

В этих сечениях плоское существо, конечно, не принимает во внимание протяжение в третьем измерении; расстояние между каждыми двумя сечениями оно не представляет себе. Для того, чтобы представить себе это расстояние, надо иметь соответственное понятие ο движении.

На фиг. 9 изображен куб, движущийся поперек плоскости. Он будет казаться плоскому существу квадратным предметом, но вещество, из которого состоит этот предмет, постоянно будет изменяться. Одни материальные частицы занимают последовательно места других, но они ни приходят откуда-нибудь, ни уходят куда-нибудь в пространстве, которое знакомо плоском}’ существу.

Аналогичный способ представление высшего кубического тела применим и в случае, касающемся нас самих; он заключается в представлении себе этого тела разделенным на множество сечений, каждое из которых помещается несколько дальше в неизвестном направлении, чем предыдущее.

Мы можем представить себе эти сечение, как некоторое количество твердых тел. Таким образом, кубы A, В, С, D, могут быть рассматриваемы, как сечение высшего куба на различных промежутках в неизвестном измерении. Располагая их в таком порядке, мы нарушаем действительную связь, какая должна существовать в высшей фигуре, но это в данном случае для нас не важно.

Движение в четвертом измерении от A через В, С и т. д. будет беспрерывным, но мы можем представить его себе, как последовательное занятие положений A, В, С и т. д. Мы можем показать результаты движение в разные периоды, но не более.

В этом своем представлении мы не принимаем во внимание расстояний между сечениями; мы рассматривали высшее тело просто как ряд сечений и выкинули пространство, содержимое между ними. Единственный путь показать это содержимое — это ‘Обратиться к помощи понятие ο движении.

Если высший куб проходит поперек нашего пространства, он будет виден нам как куб изолированный в пространстве: та часть его, которая не вошла в наше пространство и та часть, которая из него вышла, не будут видимы. Постепенное прохождение высшего куба через наше пространство будет казаться нам лишь переменою в составе его материи. Одна материальная его частица появляется за другою, но мы не можем указать ни откуда они приходят, ни в каком направлении уходят. Таким образом, судя по продолжительности явление нам фигуры, мы можем заключать ο высшей ее протяженности. Куб нашей материи при данных условиях, т.е. при движении его поперек нашего пространства, моментально исчез бы. Высший куб будет виден пока не пройдет поперек нашего пространства всей своей протяженностью в четвертом измерении.

Подобно тому, как плоское существо может представлять себе наш куб состоящим из сечений, подобных известной ему фигуре и простирающихся вне его плоскости, точно так же и мы можем ‘представлять себе высшее кубическое тело состоящим из сечений, подобных известному нам кубическому телу, но простирающихся вне нашего пространства.

Таким образом, мы можем смотреть на высший куб, как на нечто начинающееся от куба в нашем пространстве и простирающееся в неизвестном направлении.

Возьмите грань A и вообразите, что она существует просто как сторона куба, как квадрат, не имеющий никакой протяженности в толщину. От этой грани куб простирается в нашем пространстве, занимая некоторый объем, в чем мы можем удостовериться.

Но от этой же грани простирается также куб в неизвестном пространстве. Взяв ряд сечений A, В, С, D и т. д., мы можем представлять себе, что в высшем кубе каждое из этих сечений образует свой куб. Эти кубы ничего общего друг с другом не имеют и от каждого из них, в данном положении, все что мы имеем в нашем пространстве, составляет отдельный квадрат. Мы можем, очевидно, взять ряд наших сечений в каком угодно порядке. Мы можем, например, взять их параллельными одной из трех граней куба, показанных на чертеже (фиг. 12). Соответственно трем рядам сечений под прямым утлом друг к другу, какие представляется возможным сделать в кубе, мы должны воображать, что высший куб состоит из кубов, исходящих от квадратов, параллельных граням нашего куба, и что все, что существует в нашем пространстве от этих кубов, составляет лишь отдельные квадраты, от которых они исходят.

ГЛАВА III. Значение четырехмерного существование.

Теперь, установив понятие ο четырехмерном пространстве и проведя аналогию, которая, без дальнейших геометрических затруднений, дает нам возможность приступить к исследованию свойств этого пространства, я попрошу читателя, который интересуется, главным образом, механической стороной предмета, обратиться к главам VI и VII. В настоящей главе я поговорю об общем значении этого исследование, а в следующих двух — об историческом происхождении идеи.

Во-первых, в ответ на представляющийся вопрос — имеются ли какие-либо доказательства тому, что мы находимся, действительно, в четырехмерном пространстве, я вернусь назад, к аналогии мира в плоскости.

Существо в мире плоскости не может иметь никакого опыта в отношении трехмерных форм, но оно может иметь опыт в отношении трехмерных движений.

Мы видели, что его материя должна иметь некоторое, хотя и очень малое, протяжение в третьем измерении, почему в малых частицах материи трехмерные движение могут быть легко наблюдаемы. Однако, во всех этих движениях могут быть видимы только конечные их результаты. A так как все движение, доступные по своим размерам для наблюдение в мире плоскости, двухмерны, то плоское существо будет в состоянии заметить в двухмерном мире только результаты мелких трехмерных движений. Поэтому будут происходить такие явление, которые объяснить оно не будет в состоянии посредством своей теории механики, —  будут наблюдаться движение, которых оно не объяснит своей теориею движение. Следовательно, чтобы определить, находимся ли мы в четырехмерном мире, необходимо исследовать феномены движение в нашем пространстве. Если представляются движение, которые необъяснимы с точки зрение нашей трехмерной механики, то мы это должны принять за указание на возможность четырехмерного движения; а если, сверх того, важно было бы показать, что такие движение являются последствием четырехмерного движение мельчайших частиц тел или эфира, мы заручились бы большой вероятностью в пользу реальности четвертого измерение.

Путем процесса подразделение материи на все более тонкие составные ее части, мы приходим к таким формам вещества, которые обладают совершенно отличными свойствами от тех свойств, какими обладают большие массы. Очень вероятно, что, на известной ступени этого процесса, мы придем к форме материи такого мелкого подразделение, что ее частицы обладают свободою движение в четырех измерениях. Форма материи, которую я подразумеваю — это эфир; ему я приписываю свойства приблизительно те же, что и совершенной жидкости.

Откладывая подробное обсуждение свойств этой материи до главы VI, мы теперь займемся рассмотрением способов, посредством которых обитатель плоскости может прийти к заключению, что трехмерные движение существуют в его мире; этим мы отметим аналогию, которая даст нам право заключить ο существовании четырехмерных движений в нашем мире. Так как протяженность материи в мире обитателя плоскости очень мала в третьем измерении, то явление, по которым он мог бы заключить ο таком движении, принадлежали бы лишь к разряду движений очень малых частиц материи.

Предположите некоторое кольцо, совпадающее с его плоскостью. Мы можем вообразить себе вокруг кольца токи, протекающие в любом из двух противоположных направлений. Они произведут неодинаковые следствие и возникнут два различных поля влияние. Если бы это кольцо, с известным направлением тока, приподнять, перевернуть и положить обратно на плоскость, то оно оказалось бы тожественным с тем кольцом, в котором пробегал бы ток в противоположном направлении. Такого рода манипуляция невозможна для самого обитателя плоскости. Таким образом, он получил бы в своем пространстве два несовместимых объекта, а именно, два поля влияние, благодаря двум кольцам, в которых пробегают токи в двух противоположных направлениях. Под именем несовместимых объектов я подразумеваю объекты, которые нельзя превратить один в другой каким бы то ни было передвижением в плоскости.

Вместо токов, различно пробегающих в кольцах, мы можем вообразить себе токи, различающиеся в качественном отношении. Представьте себе известное количество маленьких колец, нанизанных на первоначальное кольцо. Ток, проходящий по этим вторым кольцам, вызовет две разновидности следствий, иди образует два различные поля влияние, соответственно своему направлению. Эти две разновидности тока могут быть превращены в одну, если приподнять одно из колец и, перевернув его, положить обратно в плоскость. Такой процесс невозможен для обитателя плоскости, следовательно и в этом случае получатся два несовместимых. поля в плоскости. и вот, если обитатель плоскости обнаружит два таких несовместимых поля и если будет в состоянии доказать, что причину несовместимости нельзя приписать токам в первоначальных кольцах, то он может допустить существование токов вокруг них, т.е. в кольцах, на них нанизанных. Таким образом, он придет к предположению существование трехмерного движение, так как такое расположение токов является уже в третьем измерении.

В нашем пространстве есть два поля различных свойств, которые могут быть получены посредством электрического тока, пробегающего в замкнутом круге или в кольце. Эти два поля могут быть превращаемы одно в другое переменою токов, но такого результата нельзя достигнуть каким-либо переворачиванием колец в нашем пространстве, потому что расположение поля по отношению к самому кольцу различно, когда мы переворачиваем кольцо и когда мы изменяем направление тока в кольце.

В качестве гипотезы для объяснение различий между этими двумя полями я их следствиями, мы можем предположить следующие роды движений в нашем пространстве: 1) ток вдоль кондуктора и 2) ток вокруг кондуктора, т.е. кольца токов, нанизанных та кондуктор, как на ось. Ни одно из этих предположений не объясняет наблюдаемых фактов.

Следовательно, нам приходится сделать предположение ο четырехмерном движении. Мы находим, что некоторое четырехмерное вращение, сущность которого объясняется в одной из последующих глав, отличается следующими характерными особенностями. Во-первых оно дает нам два поля влияние, одно из которых могло бы быть превращено в другое, если бы приподнять прибор в четвертое измерение и, перевернув его, поставить вновь в наше пространство, точь-в-точь, как два рода полей в плоскости могли бы быть превращены одно в другое переворачиванием тока в нашем пространстве. Во-вторых, оно заключает в себе феномен совершенно тожественный с замечательной и таинственной характерной особенностью электрического тока, а именно, оно является полем действие, край которого необходимо примыкает к непрерывной границе, образуемой кондуктором. Значит, допустив существование четырехмерного движение в области мельчайших частиц материи, мы должны ‘рассчитывать найти движение, аналогичное с электричеством.

Опять же и феномен такого всемирного значение, как электричество, не может быть обязан своим существованием какому-либо сложному отношению между материей и движением; в нем следует видеть простое и естественное следствие их. свойств. Я убежден, что затруднение в создании удовлетворительной теории в этой области возникает из попытки объяснить четырехмерный феномен трехмерной геометрией.

Не теряя из виду такого рода свидетельства, мы не можем пренебречь и свидетельством, какое доставляет нам существование симметрии. В связи с этим, я упомяну ο простом способе получать изображение насекомых, — способе, который иногда практикуется детьми. Они ставят на куске бумаги по прямой линии несколько чернильных клякс, сгибают вдоль них бумагу и, развернув ее, любуются подобием насекомых. Находя в природе множество подобных форм, мы готовы были бы заключить, что они производятся путем какого-то процесса сгибания; но вероятность против такого рода удваивание частей организма слишком велика для того, чтобы прийти к убеждению, что они образовались иначе.

Происхождение симметрических форм организованных существ нельзя, конечно, приписать выворачиванию сколько-нибудь заметных размеров тел в четырехмерном пространстве; но легко вообразить, что оно объясняется предрасположением такого рода малейших, обладающих жизнью, частиц, из которых эти тела состоят. Таким образом, не только электричество, но сама жизнь и процессы, благодаря которым мы мыслим и чувствуем, должны быть приписаны влиянию той важной области, в которой совершаются четырехмерные движение.

Я не думаю, однако, утверждать, что жизнь может быть объяснена четырехмерным движением. Мне кажется, что вся сила мысли, которая добивается объяснение феноменов жизни и води в зависимости от какого-то особенного отношение между материей и движением, применяется скорее в интересах объяснимости вещей, чем с каким-нибудь расчетом на вероятность.

Конечно, если бы могли показать, что жизнь есть лишь феномен движение, то мы в состоянии были бы объяснить очень многое из того, что теперь представляется совершенно необъяснимым. Но существуют два больших препятствие на этом пути. Необходимо было бы доказать, что в зародыше, способном к развитию в живое существо, имеются видоизменение структуры, способные определить в развитом зародыше все характеристические особенности его вида, и не только это, но еще способные определить особенности всех потомков такого вида в бесконечных его поколениях. Такая сложность механических отношений, при всей своей очевидности, не может быть признана лучшим путем для классификации явлений и для практического об них отчета. Другое препятствие заключается в том, что и самая высшая степень механического приспособление не даст того элемента сознание, которым мы обладаем и которым обладает, хотя и в меньшей значительно мере, весь животный мир.

Возьмем такие сложные сооружение, которые строятся и управляются людьми, как, например, корабль, или железнодорожный поезд. Если их наблюдать с такого расстояние, что руководящие ими люди не будут видны, то, кажется, будто они проявляют известные признаки жизни. Но эта внешность одухотворение не является следствием распространение жизни в материальных частях сооружение, а свидетельствует лишь ο присутствии на нем живого существа.

Древняя гипотеза ο душе, ο живущем организме внутри видимого организма, кажется мне много более рациональною, чем попытки видеть в жизни лишь форму движение. И когда мы принимаем в соображение область чрезвычайного утончение материи, характеризуемую четырехмерным движением, затруднение представить себе такой организм, рядом с телесным организмом, —  исчезает. Лорд Кельвин предполагает, что материя образовалась из эфира. Мы в праве также предполагать, что живущие организмы, управляющие материальными организмами, координируются с ними и не состоят из материи, а представляют эфирные тела, способные в качестве таковых двигаться в эфире и давать начало материальным живым телам в минеральном царстве.

Подобные гипотезы не находят пока почвы в физическом мире ни для доказательств, ни для опровержений. Обратимся, поэтому, к несколько иному полю исследование. Предположим, что человеческая душа есть бытие четырехмерное, само по себе способное к четырехмерным движениям, но в своем земном опыте ограниченное чувствами к познаванию лишь трехмерного мира. Спросим теперь, соответствует ли наше предположение истории мысли человека, т.е. соответствует ли той его продуктивности, которая составляет его характерную особенность. Рассмотрим те ступени, по которым человек, предполагаемое четырехмерное бытие, вопреки своим физическим условиям существование, пришел к сознанию факта четырехмерного существование.

Откладывая это исследование до следующей главы, я ограничусь здесь краткою аргументацией для того, чтобы удостоверить, что преследуемая нами цель всецело относится лишь к фактической стороне дела и совершенно независима от каких-либо философских или метафизических умозрений.

Если сделано два выстрела в мишень, причем вторая пуля легла не в то же самое место мишени, где легла первая, мы предполагаем, что было некоторое различие в условиях, при которых состоялся второй выстрел, от тех условий, какие сопровождали первый выстрел. Сила пороха, направление линии прицеливание, скорость ветра, или какое-нибудь иное условие должно было отличаться во втором случае, если полет пули не был точь-в-точь таким же, как в первом случае. Соответственно каждому несходству в результате должно быть некоторое несходство в предшествовавших материальных условиях. Таким образом, восходя к источнику цели отношений, мы объясняем природу вещей.

Но существует также и другой род объяснений, который тоже применяется нами. Если мы, например, справляемся, какая тому причина, что известного типа корабль был построен, или если спрашиваем, почему было поставлено такое-то здание, мы могли бы приступить к исследованию перемен в мозговых клеточках людей, задумавших эти постройки. Всякое изменение в одном судне или здании, в сравнении с другими судном или зданием, сопровождается переменою в процессах, совершающихся в мозговом веществе самих изобретателей. Но практически это привело бы к очень сложной и длинной задаче.

Более практическим способом объяснение данных, касающихся постройки корабля или строение, было бы прямо спросить людей, их построивших, относительно причин, планов и целей, имевшихся в виду. Основательное и существенное знание мы легче всего получаем последним путем.

Иногда мы обращаемся к одному способу объяснение, иногда к другому.

Но надо заметить, что метод объяснение, основывающийся на выяснении цели, намерение, воли, — всегда предполагает такую механическую систему, в которой отправным пунктом являются цель и воля. Идея ο человеке, как ο деятеле, руководящемся желанием и действующим из разных побудительных причин, заключает в себе идею ο множестве однообразных процессов природы, которые он может изменить и к которым может примениться. При механических условиях трехмерного мира единственный волевой деятель, которого мы в состоянии обнаружить — это человеческий деятель. Но когда мы обращаемся к четырехмерному миру, вопрос остается совершенно открытым.

Метод объяснение, основанный на исследовании намерение и дели, надо полагать, не начинается в природе внезапно с человеком и с ним, столь же внезапно, не кончается. Волю и побудительные причины, усматриваемые нами в действиях человека, мы можем усматривать и в явлениях движения; они принадлежат к одной и той же категории, но не могут быть превратимы одни в другие. Начало же исследование той воли и той побудительной причины, которые скрыты за волею и побудительною причиною проявляющимися в трехмерной механической области, заложено в познавательных способностях самой души, — того четырехмерного организма, который выражает свое высшее физическое бытие в симметрии тела и определяет цели и побудительные причины человеческого существование.

Наша главная задача заключается в том, чтобы выработать систематическое представление ο феноменах четырехмерного мира и указать на те вопросы, выяснению которых оно должно послужить в видах усовершенствование нашего механического истолкование вселенной. Но дополнительное содействие в деле поверки и подтверждение гипотезы может быть достигнуто путем рассмотрение истории человеческой мысли и путем выяснение того обстоятельства, не представляет ли она тех особенностей, каких естественно следовало вперед ожидать.

ГЛАВА IV. Первая глава истории четырехмерного пространства.

Между греческим философом Парменидом и азиатскими мыслителями была тесная, родственная связь мысли. Они предлагали теорию существование, которая была близка к прозрениям ο возможных отношениях между пространствами высшего и низшего измерений. Эта сравнительно древняя теория, значительно отличающаяся от главного течение мысли, с которым мы познакомим читателя впоследствии, образует нечто совершенно самостоятельное. Она принадлежит к числу тех доктрин, которые во все времена привлекали к себе чистый разум и которые представляют естественный род мысли для тех, кто не склонен навязывать природе свою собственную волю под маскою закона причинности.

Согласно воззрениям Парменида, принадлежавшего к школе елейской, — весь мир есть нечто единое, неподвижное, неизменное. Нечто постоянное среди преходящего и скоротечного, — прочная опора для мысли, надежный оплот для чувства. От степени раскрытие этого нечто зависит весь уклад нашей жизни. Это не призрак. Среди лжи и обмана оно является сущностью истинного бытие, вечного, непоколебимого, единственного. Так говорит Парменид.

Но как объяснить переменчивость сцены, — все это непостоянство и превратность вещей!

«Иллюзия», отвечает Парменид. Распознавая между истиною и заблуждением, он говорит об истинной доктрине, об единой — ο неверности мнение, будто мир изменчив. Он не менее достопамятен по приемам своей защиты, чем по самому делу, которое защищает. Кажется, будто, благодаря найденной им прочной опоре бытие, он может свободно играть мыслями, под бременем которых другие изнемогают; от него, собственно, получает начало та легкость предположение и гипотезы, которая составляет основу диалектики Платона.

Можно ли представить себе более забавную мысленную картину, чем та, какую изображает собою Парменид, указывающий на единое, истинное, неизменное и, однако, охотно обсуждающий всякого рода фальшь, выдаваемую за космогонию, хотя и явно ложную, «но мою собственную», согласно нравам его времени?

Для поддержки истины и правильного мнение он начинает с отрицание, указывая на противоречие в идеях об изменчивости и ο движении. Сомнительно, чтобы его взгляды, за исключением второстепенных пунктов, были когда-либо успешно опровергнуты. Чтобы выразить его учение современным, полновесным образом, мы должны сказать: движение не реально, а феноменально,

Познакомимся с его доктриною.

Вообразите полосу стоячей воды, в которую вертикально вниз погружается палка, удерживаемая в косвенном положении. Пусть и,’ 2, 3 (фиг. 13) будут три последовательные положение палки. A, В, С, будут три последовательные положение встречи палки с поверхностью воды. По мере того, как палка погружается, точка встречи ее с водою будет отодвигаться от A к Β и С.

Представьте теперь, что вся вода удалена за исключением верхней пленки. В месте встречи пленки и палки получится перерыв пленки. Если мы предположим, что пленка, подобно мыльному пузырю, обладает свойством плотно обхватывать проникающий в нее предмет, то по мере того, как палка движется вертикально вниз, перерыв в пленке будет двигаться вперед.

Если мы пропустим спираль через пленку, то в пересечении спирали с пленкою получится точка, движущаяся по кругу, обозначенному на чертеже пунктиром. Предположите теперь, что спираль остановилась, а пленка движется вертикально вверх; тогда вся спираль будет воспроизводиться в пленке последовательным и положениями точки пересечение. В пленке продолжительное существование спирали будет испытываться как порядок во времени, а след прохождение спирали обозначится точкою, движущеюся по кругу. Если же мы предположим некоторое сознание в пленке так, что пересечение ее со спиралью обусловит известный сознательный опыт, то окажется, что на ней будет восприниматься только движение точки по кругу и ничего не будет известно ο действительной спирали, последовательное пересечение которой с пленкою есть результат движение точки.

Вообразим себе, что строение этой спирали очень сложно, что она состоит из разных волокон и что сложность ее строение можно наблюдать в каждом из ее сечений. Если мы примем пересечение этих волокон с пленкою, во время движение последней, за атомы, составляющие вселенную пленки, то мы получим в пленке особый мир видимого движения; мы получим тела, соответствующие волокнистому строению спирали и положение этих строений по отношению друг к другу обусловят появление тел в пленке, двигающихся по отношению друг к другу. Это взаимное передвижение будет лишь кажущимся. В действительности строение волокон спирали неподвижно и все относительные движение объясняются одним неизменным движением всей пленки, как целого.

Таким образом, мы можем вообразить себе плоский мир, в котором все возникающее разнообразие движение есть лишь результат строение атомов волокон, проходящих в плоскости сознание. Обращаясь к четырехмерному и к нашему пространствам, мы можем вообразить себе, что все вещи и всякое движение в нашем мире представляют лишь внешность неизменной реальности в пространстве, доступном нашему сознанию. Каждый атом в каждый данный момент не есть то, чем он только что был, но представляет новую часть той бесконечной линии, которая существует сама в себе. И вся эта система, последовательно раскрывающаяся во времени, которое есть лишь последовательность сознание, как бы она ни казалась разделенною на части, в своем целом представляет одно лишь единство. Воспроизводя доктрину Парменида таким образом, мы вернее ее схватываем, чем если прислушиваемся к его напыщенным, громоздким словам. Мы достигаем также возможности проследить ход той восточной мысли, которой заключение Парменида не были чужды. Возвращаясь к плоскости сознание и к строению атомов волокон, предположим, будто сами эти атомы движутся, действуют, живут. Тогда в поперечном движении пленки будут наблюдаться два феномена движение, одним из которых будет впечатление, получающееся в пленке от неизменно существующих волокон самих в себе, а другим — впечатление от движение, порождаемого изменениями самих атомов, в силу их собственного движение во время процесса прохождение через плоскость пленки.

Следовательно, сознательный обитатель плоскости будет получать, как будто, двоякий опыт. Прохождение предмета как одного целого, пересечение которого с пленкою обусловливает его сознание, —  все эти главные, массовые движение произведут впечатление, соответствующее его высшему существованию, недвижимому и недеятельному. Мелкие же изменение и уклонение от этих главных движений и действий будут представлять деятельность и самоопределение совершенного бытие, его высшего Я.

Можно еще предположить, что сознание в плоскости имеет также свою долю и в том проявлении воли, которою определяется совершенное существование. Таким образом, побудительные причины II воля, инициатива и жизнь высшего бытие выразились бы и для ‘обитателя пленки в инициативе и воле, способных повлиять не на какие-либо важные обстоятельства и перемены в его существовании, но только на сравнительно маловажную и незначительную его деятельность. Во всех главных событиях его жизни опыт давал бы ему право заключить ο таком виде существование высшего бытие, который определяет его собственное существование, по мере того, как пленка подвигается вперед. Но в своих мелких и очевидно не важных действиях он обладал бы той волей и влиянием на свою жизнь, посредством которых существо, ему подобное, действует и живет.

Изменение в высшем бытии соответствовало бы для него изменению условий жизни. Предположим теперь, что пленка за пленкою проходит по этим высшим структурам, что жизнь реального бытие все вновь и вновь изучается последовательными волнами сознание. Получился бы ряд существований в различных совершенствующихся плоскостях сознание, из коих каждое существование отличалось бы от предыдущего и отличалось бы в силу той воли и той деятельности, которые в предыдущих существованиях не посвящались ни более важным, ни, по-видимому, самым значительным обстоятельствам жизни, но, напротив, мелким и, по-видимому, неважным. Во всех важных делах обитатель пленки черпает волю в жизни своего собственного Я, как это всегда и между нами бывает. В маловажных вещах он сообразуется с той волей, благодаря которой высшее бытие живет, действует и изменяется.

. Таким образом, мы достигаем понятие ο жизни изменяющейся и развивающейся как целое, ο жизни, в которой наша отчужденность, скоротечность и бренность только кажется такими, но которая в своем течении и в своих результатах изменяется и развивается. Сила же, изменяющая и исправляющая жизнь в ее целом, исходит из той воли и того могущества, которыми ограниченное бытие руководится, направляется и изменяется в мелких, незначительных обстоятельствах своего существование.

Перенося эти понятие в область идей ο высшем измерении, проходимом плоскостью сознание, мы получаем освещение мысли, находившей частое и разнообразное выражение. Когда, однако, мы спрашиваем себя, какую степень достоверности она в себе заключает, мы должны признать, что, поскольку мы в состоянии судить, она чисто лишь символична. Истинный путь исследование в области высшего измерение пролегает в ином направлении.

Значение доктрины Парменида заключается в том, что и здесь повторяется то же, с чем встречаемся повсюду. Понятие, составляемые человеком ο себе, если только юн их не слагает под влиянием своего внесшего опыта, имеют поразительное и знаменательное соответствие с идеей ο физическом существовании в мире высшего пространства. Как близко мы подходим к образу мыслей Парменида путем такого представление, — сказать невозможно. Я хочу лишь указать на жизненность приведенной сейчас иллюстрации, которая дает не только статический образчик его доктрины, но в состоянии, так сказать, пластично видоизменяться соответственно сродным формам мысли. Одно из двух положений должно признать верным: или идея ο четвертом измерении обладает чудесною силою воспроизведение мысли Востока, или мыслители Востока должны были видеть и принимать в соображение четырехмерное существование.

Теперь мы дошли до главного течение мысли и должны остановиться на некоторых подробностях, указанных Пифагором; но это не потому что Пифагор имеет какое-либо прямое отношение к вашему предмету, а по причине связи его с позднейшими исследователями.

Пифагор изобрел двойное счисление. Изобразим простое счисление сочетанием букв аа, а, ас, ad, пользуясь попарно этими буквами вместо чисел 1, 2, 3, 4. Я ставлю a первым в каждой паре по той причине, которая сейчас выяснится.

Получаем некоторую последовательность и порядок, с которыми не связывается никакое обязательное понятие ο расстоянии. Различие между сочетаниями букв является лишь порядковым; и только в случае их отожествление с известным количеством равных материальных единиц, непосредственно соприкасающихся между собою, возникает понятие ο расстоянии.

Затем, кроме простого ряда букв, мы можем получить и целую их систему, начиная с аа, ba, са, da, продолжая а, b, cb, db и т. д.

da	db	dc	dd
са	cb	cc	cd
bd	bb	be	bd
аа	ab	ac	ad

Получается сложный или разнородный двойной порядок. Можно представить его рядом точек, если будем остерегаться присваивать ему какое-либо отношение к расстоянию.

Пифагор изучал этот двойной способ счисление в отношении материальных тал и открыл то замечательное свойство комбинации чисел и материальных единиц, которое носит его имя.

Пифагорово свойство протяженных материальных систем может быть показано известным образом, несколько отличающимся от приемов самого Пифагора. А так как этот способ пригодится нам впоследствии, то я им и воспользуюсь.

Взгляните на поле, на котором расположены правильные ряды точек. Такое поле обладает следующими приметами.

Очевидно (фиг. 16), четыре точки определяют квадрат; таким квадратом мы можем пользоваться, как единицею меры площадей. Но мы можем измерять площади и иным образом.

Фиг. 16 (1) показывает, что четыре точки определяют квадрат.

Но, с другой стороны, четыре квадрата встречаются в точке, фиг. 1«(2).

Следовательно, точка на углу квадрата принадлежит одинаково четырем квадратам.

Таким образом, мы можем сказать, что площадь каждого квадрата, выраженная в точках, равняется одной точке, потому что квадрат, фиг. 16 (1), имеет четыре точки, но каждая из них в равной мере принадлежит четырем квадратам. A потому одна четвертая каждой из них принадлежит квадрату, а величина площади квадрата, выраженная в точках, равна одной точке.

При подсчете числа точек результат получается тот же самый, как и путем вычисление заключающихся квадратных единиц.

Следовательно, желая измерить площадь любого квадрата, мы можем взять число заключающихся в нем точек, принимая каждую из них за одну точку, и прибавить к этому числу одну четвертую часть числа точек, расположенных по углам квадрата.

Теперь начертим диагональный квадрат, как показано на фиг. 17. Он содержит одну точку и четыре угла, составляющие в сложности еще одну точку; следовательно, величина квадрата, выраженная в точках, равняется 2. Эта величина есть мера площади, т.е. размер данного квадрата равен двум квадратным единицам.

Взглянув теперь на стороны образовавшегося прямоугольного треугольника, мы видим, что на каждом из его катетов может быть построена квадратная единица, так как оба эти квадрата не заключают в себе точек, а точки на их четырех углах составляют в сложности единицу.

Отсюда мы видим, что квадрат, построенный на диагонали, равен квадратам, построенным на прилегающих к ней сторонах, или, согласно принятому выражению, — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.

Отметив этот факт, мы можем продолжать осведомляться, всегда ли такой способ верен. Начертив квадрат, показанный на фиг. 18, мы можем сосчитать число его точек. Их всего пять. Четыре точки внутри квадрата на диагонали и четыре по его углам составляют в сложности пять точек, т.е. площадь данного квадрата равна 5 квадратным единицам. Квадраты же, построенные на катетах соответственных треугольников, будут иметь площади — 4 и 1. Следовательно и в этом случае- квадрат на диагонали равен сумме квадратов ее катетов. Это свойство материи составляет одно из первых великих открытий прикладной математики. Мы докажем впоследствии, что это не есть свойство пространства. Пока достаточно заметить, что положение, в которых располагаются точки, получаются всецело практическим путем. Достигается это или посредством нескольких предметов одинаковых размеров, или при помощи одного и того же предмета, передвигаемого с одного места па другое.

Затем Пифагор исследовал, какое отношение должно существовать между двумя квадратами, для того, чтобы площади их были равны, если стороны одного из них вытянуть наискось. Он нашел, что квадрат, сторона которого равна пяти, может быть помещен или прямо вдоль линий точек, или в косвенном положении. Такой квадрат равняется сумме квадратов, размеры которых — 4 и 3.

Здесь ему пришла идея, что численные отношение составляют свойство материн. Числа, присущие предметам, производят равенства, столь удобные в области умственных восприятий. Он нашел, что числа, присущие звукам, — например, когда струнам какого-нибудь музыкального инструмента придается известная, определенная соразмерность в длине, — не «менее пленительны для уха, чем равенство ‘площадей для ума. Не удивительно, поэтому, что он приписал некоторое действительное могущество числам!

Мы не должны забывать, что углубляясь, подобно нам, в поиски неизменного среди изменчивых явлений природы, греки не имели того понятие. ο постоянстве материи, которым мы обладаем. В их глазах материальные вещи не были постоянными. В огне твердые вещи пропадают и абсолютно исчезают. Скала и земля имеют более прочное существование, но и они также растут и разрушаются. Постоянство материи, сохранение энергии были неизвестными для них понятиями. И то различие, которое мы столь легко представляем себе между скоротечными и постоянными причинами ощущение, как, например, между звуком и материальным предметом, не имело для них того же значение, какое имеет для нас. Вообразим лишь на одно мгновение, что материальные вещи скоротечны, что они способны исчезать бесследно и мы станем гораздо выше оценивать ту область исследований неизменного, которая как для греков, так для нас, представляет главный духовный интерес.

Что это такое, что, среди тысячи форм, остается всегда одним и тем же, что мы можем признать при всей его изменчивости, все проявление которого в разных феноменах представляют лишь его внешность?

Полагать, что этим нечто является число, не значит уклоняться слишком далеко от истины. Ученые атомисты, далеко опередив научные доказательства, утверждали, что существуют вечные материальные частицы, которые, соединяясь между собою, произвели все разнообразные формы и состояние тел. Но, в виду наблюдавшихся фактов в природе, в доступных тогда пределах, Аристотель, совершенно резонно, отказался принять эту гипотезу.

Он точно устанавливает, что существует изменение качества и что изменение, обязанное движению, есть только один из возможных видов изменение.

Не находя ничего постоянного, неизменного в материальном мире, окружающем нас, убеждаясь в скоротечности и превратности всего, мы должны, я думаю, быть готовы последовать за Пифагором и отожествить число с тем началом, которое не перестанет существовать среди всех перемен, которое в многосложных формах мы признаем присущим при процессах изменение и исчезновение сущности вещей.

От числового же идеализма Пифагора один только шаг к более полному и плодовитому идеализму Платона. То, что познается чувством осязание, мы принимаем за основное и реальное; ο других чувствах мы говорим, что они имеют дело лишь с внешностью. Но Платон не отказывал им всем в достоверности, как определяющим качества существование. Так как качества, воспринятые чувствами, не представлялись устойчивыми, То это обстоятельство заставило его приписывать им различные виды постоянства. Он составил понятие ο мире идей, в котором все, что действительно существует, все, что производит на нас впечатление и придает полноту и удивительное богатство нашему опыту, не есть скоротечное и преходящее, но вечное. Из этого мира реального и вечного мы видим в вещах кругом нас — временные и преходящие образы.

И этот мир идей не представлял ничего исключительного, где не было бы места для внутренних убеждений души, для ее самых повелительных утверждений. В нем существовали справедливость, красота, добро и все, чего требовала душа. Мир идей, удивительное создание Платона, предназначенное для человека, для его разумных исследований и для обеспечение его развитие, примиряет нас со всем тем, что грубые, непостижимые перемены, воспринимаемые суровым опытом, рассеивают и разрушают.

Платон верил в реальность идей. Он говорит прямо и откровенно: разведи линию на две части; пусть одна из них представляет реальные объекты в мире, а другая — преходящие явление, такие, как отражение в стоячей воде, отблеск солнца на полированной поверхности, или тени от облаков.

A	В
Реальные объекты:	Явления:
напр., солнце.	напр., отражение солнца.

Возьмите другую линию и разделите ее на две части, из коих одна представляла бы наши идеи, завладевающие, обыкновенно, нашим умом, такие, как белизна, равенство, а другая представляла бы наше истинное знание в области вечных начал, таких как красота, добро.

А1	В1
Вечные начала,	Восприятие ума,
напр., красота.	напр., белизна, равенство.

Следовательно, A относится к В, как А¹ относится к В¹.

То есть, душа может следовать, удаляясь от окружающей ее действительности, в область несомненной истины, где она видит не обманчивые отражение, а то, что реально существует; видит солнце, а не блуждающий огонек, — истинное бытие, а не случайные впечатление.

Но это для нас, как и для Аристотеля, представляется, безусловно, непознаваемым с научной точки зрение. Мы можем согласиться с тем, что бытие познается в полноте его отношений. Например, только из отношений человека к обстоятельствам его жизни познается его характер. Характер, собственно, только и существует в делах человека при данных условиях. Мы не можем представить себе какую-либо индивидуальность особо от отношений ее к окружающему.

Но предположите, теперь, что Платон говорит ο высшем человеке, — ο четырехмерном существе, которое ограничено в своем внешнем опыте трехмерным миром. Не станут ли тогда его слова принимать для нас некоторый смысл? Такое существо обладало бы сознанием некоторого движение, какого оно не могло бы видеть своими телесными глазами. Оно в самом себе знает реальность, по отношению которой эта, столь массивная земля, является просто лишь поверхностью. Оно знает также такую форму бытие, такую полноту отношений, которая постольку лишь может быть представлена в нашем ограниченном мире чувств, поскольку живописец в состоянии воспроизвести глубину лесов, равнин и воздуха. Думая ο такой сущности в человеке, не правильно ли Платон разделил свою линию?

Если бы Платон умолчал ο своей доктрине независимого происхождение идей, то он выступил бы с доказательствами существование четвертого измерение, так как реальность, мы полагаем, есть идея. Идея обитателя плоскости ο квадратном объекте будет отвлеченною идеей, а именно, это будет геометрический квадрат. Подобным же образом наша идея ο кубическом теле — абстрактна, потому что в ней не достает идеи ο четырехмерной толщине, которая необходима для придание ей реальности. Следовательно, можем сказать, — как тень относится к нашему твердому предмету, так твердый предмет относится к реальности. Таким образом, A и В¹ были бы отожествлены.

В аллегории, на которую я уже ссылался, Платон в нескольких словах определяет отношение между существованием на поверхности и в кубическом пространстве. Пользуется он этим отношением для выяснение свойств высшего бытие.

Он воображает себе некоторое количество невольников, прикованных таким образом, что они видят только стену пещеры, в которой они заключены; а позади их пролегает дорога и помещается свет. По дороге проходят мужчины и женщины, проносят разные предметы и двигаются целые процессии. Но из всего этого передвижение пленниц различают только тени на стене, на которую они пристально смотрят. Все, что доступно их зрению — это тени, как их собственные, так и прочих предметов мира. Отожествляя себя со своими тенями по отношению к теням мира теней, они живут в своего рода сне.

Дальше Платон воображает, что один из этих людей попал в действительное мировое пространство и возвращается к товарищам, чтобы осведомить их об их условиях жизни.

Здесь Платон очень ясно излагает отношение между существованием в мире плоскости и существованием в трехмерном мире. Он прибегает к этой иллюстрации, чтобы дать образец того способа, посредством которого мы должны подходить к высшему состоянию от известных нам условий трехмерной жизни.

Итак, по Платону, представляются два пути следование к познаванию высшего тела и четырехмерного существования: можно избрать путь аналогии, исходя из рассуждение ο тенях, и можно принять идеи за высшие реальности, а прямое воспринятие их — за соприкосновение с высшим миром.

Переходя к Аристотелю, мы коснемся вопросов, которые непосредственно относятся к нашему исследованию.

Подобно тому, как современный ученый, разбираясь в умозрениях древнего мира, относится к ним хотя и почтительно, но не без улыбки и справляется, какую связь каждое из них и все вместе имеют с фактами, Аристотель, разбираясь в греческой философии своего времени, прежде всего осведомляется: «Соответствует ли она действительному порядку вещей в природе? Система такая-то надлежащим ли образом представляет то, что наблюдается в мире?»

Он находит все системы несовершенными и, в некоторых случаях, по тем самым причинам, которые мы находим чрезвычайно уважительными, как, например, когда он критикует атомистическую теорию, которая объясняет всякую перемену движением. Но, в величественной работе своего ума, он никогда не теряет из виду целого; а там, где наши взгляды отличаются от его взглядов, причиною является не столько наше превосходство, сколько провозглашенный им самим факт, что одно и то же правило не может быть одинаково применимым во всех отраслях исследование. Идеи, связанные с одним методом исследование, могут не соответствовать другому методу.

Таким образом, расхождение наше с Аристотелем во взглядах обусловливается скорее нашим исключительным вниманием к одностороннему изучению природы, чем какою-либо найденною нами возможностью создавать теории ο целом, превосходящие теории Аристотеля.

Он все подвергает исследованию; он не отделяет материи от ее проявлений; он комбинирует все в одно целое, охватывает одной общей идеей громадный мировой процесс, в котором все принимает участие — и перемещение простой пылинки, и развертывание листочка, и стройное движение светил небесных; каждая вещь представляется ему лишь частью одного великого целого, в котором он не усматривает ни мертвой материи, ни каких-либо случайностей.

И подобно тому, как наши теории, со стороны: их соответствие с действительностью, рассыпаются в прах в присутствии его несравненной способности оценивать факты, так и платоновская «доктрина идей» не выдержала его критики. Взгляды Платона на жизнь, изложенные им в его «Парменидах», далеко не соответствуют действительности; он объясняет вещи, заменяя лишь одно неизвестное другим неизвестным.

Со своей стороны Аристотель изобрел великое определение, которое, благодаря свойственной ему силе ума, стоит в соответствии с фактами и оправдывается опытом жизни.

Подобно платоновскому мистическому царству идей, аристотелево определение материи и формы, как составных частей реальности, подразумевает существование высшей протяженности.

По Аристотелю субстанция относительна, не абсолютна. Во всякой существующей вещи есть материя, из которой она состоит и форма, в которой она объявляется; но они неразрывно связаны и ни одна из них немыслима без другой.

Глыбы камня, из которого дом построен, служат материалом для строителя; но для работишка в каменоломне они представляют вещество скалы с тою формою, какую он им придал. Слова являются окончательным продуктом для грамматика, но служат лишь простым материалом для поэта или оратора. Атом для нас — это то, из чего химические вещества построены, но, рассматриваемый с иной точки зрение, это результат весьма сложных процессов.

Мы нигде конца не находим. Материя — в одной области мысли, есть материя плюс форма в другой области мысли. Обращаясь к геометрии, находим, что плоские фигуры существуют лишь как ограничение разных частей плоскости. Материя плоскости, ограниченная линиями, определяется в форму. A поскольку площадь является материей по отношению и линиям, определяющим ее в плоскости, постольку же сама плоскость существует в силу определение ею пространства. Плоскость есть то, что налагает форму на бесформенное пространство и сообщает ему действительность реальных отношений. Мы не можем отказаться продолжить этот ход рассуждение еще на шаг дальше и не сказать, что само пространство есть то, что придает форму высшему пространству. Как линия определяет плоскость, а плоскость определяет кубическое пространство, так само кубическое пространство определяет высшее пространство.

Как линия сама по себе непостижима без плоскости, которую она ограничивает, так непостижима и плоскость без кубического тела, которое она с какой-нибудь стороны ограничивает. Таким же образом и само по себе пространство не может быть безусловно определено. Оно является отрицанием возможности движение более чем в трех направлениях. Понятие ο пространстве требует понятие ο высшем пространстве. Как поверхность представляется тонкою и невещественною без материи, которой оно. служит поверхностью, так и сама материя является тонкою без высшей материи.

Аристотель изобрел алгебраический метод представление неизвестных величин путем простых символов, взамен линий, неизменно определяемых по длине, согласно обыкновению, усвоенному греческими геометрами; этим он проложил путь к тому объективированию мысли, которое снабдило математика для его анализов особым орудием, в виде самостоятельно рассуждающей машины. Подобным же образом, в деле формулирование учение ο материи и форме, ο потенциальности и действительности, об относительности вещества, он придумал другой род объективирования мысли — известное определение, которое обладало свойственной ему жизненной силой и деятельностью.

Что касается материи, то, сколько нам известно, ни в одном из своих сочинений он не доводил данных им определений до законных заключений; в отношении же внешних качеств он был склонен к ограничению понятие ο том существовании чистой формы, которая лежит вне всякого известного определение материи. Недвижный двигатель всех вещей представляется Аристотелю высшим началом. К нему, разделить его совершенство, все вещи тяготеют. Вселенная, по Аристотелю, — это активный процесс развитие. Он отвергает то, нелогическое мнение, по которому вселенная была однажды приведена в движение и сохраняет его до сих пор. Во вселенной, по его мнению, есть полный простор для проявление деятельности, воли, самоопределение и для всяких случайностей. Мы не следуем за Аристотелем потому лишь, что привыкли усматривать в природе бесконечные серии и не чувствуем себя обязанными перейти к верованию в окончательные достижение, на которые, кажется, все указывает.

Но, независимо от тяготение вселенной к достижению некоторого совершенства, эта доктрина Аристотеля об относительности материи неопровержима в своей логике. Он первый указал на необходимость такого пути для мысли, следуя по которому мы приходим к гипотезе четырехмерного пространства.

Будучи противником Платона по своим идеям практического отношение разума к миру явлений, он, тем не менее, сходился с ним в одном пункте. И в этом он проявлял свою искренность и беспристрастность. Он заботился больше ο том, чтобы не упустить чего-нибудь, чем чтобы найти всему объяснение. То, в чем столь многие обнаруживали свою непоследовательность и неспособность освободиться из под влияние школы Платона, служит нам, в связи с нашим исследованием, примером его проницательности и тонкости его наблюдений. Сверх всякого знание, воспринимаемого путем чувств, существует, по мнению Аристотеля, активный интеллект, некий разум, не пассивный приемник впечатлений извне, но активное, самостоятельное бытие, способное воспринимать знание непосредственно. Под именем активной души Аристотель признавал в человеке нечто, не поражённое его физическими условиями существование, нечто творческое, деятельность которого есть знание, независимое от чувств. Это нечто, он говорит, есть бессмертное и нетленное бытие в человеке.

Таким образом, мы видим, что Аристотель недалек был от признание четырехмерного существование и вне и внутри человека; процесс же соответственного представление четырехмерных фигур, к которому мы потом обратимся, является восстановлением на практике его гипотезы ο душе.

Много столетий миновало раньше, чем сделан был следующий шаг в развертывающейся драме признание души, в связи с нашим научным понятием ο мире и, в то же время, — признание того высшего мира, поверхностной внешностью которого является наш трехмерный мир. Если мы проходим молчанием промежуточное время, то это потому, что душа была тогда занята проявлением себя в иных областях жизни кроме области познавание. Когда она обратилась серьезно к задаче познавание этого материального мира, в котором она очутилась, и к управлению ходом вещей в неодушевленной природе, то, в результате этого стремление к дели совершенно объективной, как бы в силу отражение в каком-нибудь зеркале, возникло ее познавание себя самой.

ГЛАВА V. Вторая глава истории четырехмерного пространства. Лобачевский, Болиай и Гаусс.

Раньше, чем приступить к описанию трудов Лобачевского и Болиайя, будет уместным познакомить читателя вкратце с личностью каждого из них. Материалами для этой цели могут послужить статья Франца Шмидта в сорок втором томе Mathematische Annalen и издание Энгеля ο Лобачевском.

Лобачевский был чрезвычайно даровитым и талантливым человеком. В юности он отличался очень живым характером и, своими шалостями и проказами раздражив одного профессора, попал в весьма затруднительное положение. Спасённый заступничеством математика Бартельса, оценившего его способности, он потом старался сдерживать себя в границах благоразумие. Назначенный профессором в том же казанском университете, он вступил в отправление своих обязанностей при режиме лицемерной реакции и был окружен плутами и доносчиками. Считая, вероятно, интересы своих учеников выше, чем какие-либо попытки бесполезного сопротивление, он ревностно отдался делу преподавание и, вместе с тем, исполнял многообразные служебные обязанности. Среди всей этой деятельности он находил время делать важные вклады в науку. Его теория параллельных линий тесно связана с его именем, а знакомство с его сочинениями показывает, что это был человек, способный содействовать развитию математики в главнейших ее отделах. Назначенный ректором того же университета, он умер в преклонном возрасте, окруженный друзьями, всеми почитаемый, наслаждаясь результатами своей благотворной деятельности. Всякий предмет, в который он вникал, получал свою долю пользы — были ли то основание геометрии, или улучшение печей в крестьянских избах.

Оп родился в 1793 году. Его научные произведение совершенно были неизвестны до 1867 года, когда Гуэль, французский математик, обратил внимание на их важное значение.

Иоганн Болиай родился в Клаузенбурге в Трансильвании 15 декабря 1802 года.

Его отец, Вольфганг Болиай, профессор реформатской коллегии Марос Вазаргели, сохранил в себе к математическим наукам прежнее влечение, которое некогда способствовало началу его дружбы с Гауссом в их юные дни студенчества в Геттингене.

В сыне своем, Иоганне, он нашел усерднейшего ученика. Он рассказывал, что мальчик проявлял поразительные способности. Не успевал он изложить задачу, как уже ребенок подавал решение и командовал продолжать дальше. Когда ему было всего тринадцать лет, отец, будучи чем-либо спешно занят, посылал его иногда вместо себя в классы. Ученики слушали его с большим вниманием, чем отца, находя, что он излагал предмет яснее.

В письме к Гауссу Вольфганг Болиай пишет:

«Мой мальчик научился узнавать многие созвездие и уже знает обыкновенные геометрические фигуры. Он делает соответственные применение своих познаний, рисуя, например, положение звезд и их созвездий. Последней зимой, в деревне, увидя Юпитера, он спросил: «Почему же мы можем видеть его отсюда, точно так, как и из города? Он, должно быть, очень далеко от нас». Относительно трех различных мест, в которых ему случилось побывать, он просил меня объяснить ему одним словом их положение. Когда я не понял, чего, собственно, он хочет, он спросил меня, расположены ли они в ряд на одной линии или по углам треугольника.

«Он забавляется выкраиванием ножницами из бумаги геометрических фигур и, хотя я никогда ничего не говорил ему еще ο треугольнике, он заметил мне однажды, что вырезанный им прямоугольный треугольник составляет половину прямоугольного четырёхугольника. Я заботливо слежу за его физическими упражнениями и предоставляю ему вволю копаться в земле своими маленькими ручонками. Цветы могут опасть и никакого плода не оставить. Иногда ему исполнится пятнадцать лет, я хотел бы послать его к вам в ученики».

В своей автобиографии Иоганн говорит:

«Мой отец обратил мое внимание на несовершенства и пробелы в теории параллельных линий. Он сказал мне, что достиг более удовлетворительных результатов, чем его предшественники, но не получил вполне удовлетворительного заключение. — Ни один из его выводов не обладал в необходимой степени геометрической точностью, хотя они достаточны были для испытание одиннадцатой аксиомы и казались вообще приемлемыми на первый взгляд.

«Он просил меня, не без основание, держаться в отдалении и избегать всякого исследование по этому вопросу, если я не хочу прожить свою жизнь бесполезно».

В виду того, что его отец не получал никакого ответа на свое письмо к Гауссу, в котором просил великого математика сделать из его сына «апостола истины в дальней стране», Иоганн поступил в инженерное училище в Вене. Он пишет из Темешвара, куда вышел подпоручиком в сентябре 1823 года:

Темешвар, 3-го ноября, 1823 г.

«Дорогой отец,

Я имею так много сказать ο своем открытии, что мне остается один только способ заставить себя не распространяться об этом предмете, взяв для своего письма четверть листика. Я жду ответа на свое письмо в четыре листа.

Неизменно остаюсь при своем намерении, напечатать свое сочинение ο параллельных линиях, вслед за приведением в порядок материалов по этому предмету и по получении необходимых денег на издание.

В настоящее время я еще не сделал, собственно, никакого открытие, но путь, по которому я следовал, несомненно обещает успех, если только это вообще осуществимо.

Хотя я еще и не достиг окончательной цели, но добился уже таких изумительных результатов, что чувствую себя положительно подавленным ими и это был бы вечный позор бросить теперь это дело. Когда Вы познакомитесь с моим трудом, то убедитесь, что я не преувеличиваю. Я могу только сказать, что я создал новый мир из ничего. Все, что я до сих пор Вам прислал, это лишь карточный домик в сравнении с настоящею башнею. Я убежден, что это не менее меня прославит, чем если бы я уже сделал открытие».

Открытие, ο котором Иоганн здесь говорит, было напечатано в приложении к сочинению Вольфганга Болиайя.

Посылая книгу Гауссу, Вольфганг пишет ему после восьмилетнего перерыва в их корреспонденции:

«Мой сын уже инженерный поручик и скоро будет произведен в капитаны. Он прекрасный молодой человек, хорошо играет на скрипке, ловко фехтуется, вообще бравый малый, но много имел дуэлей и необуздан характером даже на солдата. Его так же легко отличить — как свет во мраке, или как мрак среди света. Он страстный математик с необыкновенными способностями….. Для него важнее Ваше мнение ο его сочинении, чем мнение всей Европы».

Вольфганг не дождался никакого отзыва на это письмо, но, послав второй экземпляр книги, получил такой ответ.

«Вы меня обрадовали своими письмами, мой незабвенный друг. Я промедлил ответом на первое письмо, желая дождаться обещанной книжки…

Теперь, относительно сочинение Вашего сына.

Если я начну с того, что, дескать, «я не должен его хвалить», Вы будете поражены на мгновение. Но я не могу сказать ничего иного. Мне хвалить это сочинение, это значило бы хвалить самого себя, ибо путь, следуя по которому Ваш сын потерпел крушение и результаты, к которым он пришел, почти совершенно совпадают с моими собственными размышлениями, из коих некоторые имеют тридцати или тридцатипятилетнюю давность.

В действительности я в высшей степени изумлен. Моим намерением было ничего не опубликовывать при моей жизни из моих сочинений из коих, впрочем, не многие готовы к печати. Большинство людей имеет лишь слабое понятие об этой проблеме и мне приходилось встречать весьма немногих, которые сколько-нибудь интересовались бы высказываемыми мною взглядами. Чтобы быть способным заинтересоваться этим предметом, надо прежде всего обладать действительно живым ощущением того, чего нам не хватает; а в этом отношении большинство находится в совершенных потемках.

Все же я намеревался со временем поручит все переписать, чтобы, по крайней мере, мои труды не погибли вместе со мною.

Я крайне удивлен, что теперь без этой работы могу обойтись и больше всего удовлетворен тем, что это сын моего старого друга предупредил меня таким замечательным образом».

Впечатление, получаемое нами по поводу необъяснимого молчание со стороны Гаусса по отношению к его старому другу, изглаживается этим письмом. И вот, мы дышим чистым воздухом горных вершин. Гаусс не мог не понимать огромного значение своих идей, при уверенности, что в будущем значение их еще увеличится, вследствие непонятливости людей в настоящем. Однако, нет ни слова, ни намека в его сочинениях на его права в этой области. Он ни одной строчки не напечатал об этом предмете. A в какой мере он поступается своим самолюбием, когда дело идет об идеях, преобразовывающих мир, в такой же мере мы должны оценивать его нравственное величие.

Большое расстояние отделяет невозмутимое спокойствие Гаусса от тревожной и страстной жизни Иоганна Болиайя; Гаусс и Галуа — это две интереснейшие личности в истории математики. Болиай, необузданный солдат, дуэлист, — кончил в распре со всем миром. Про него рассказывают, что однажды его вызвали на дуэль одновременно тринадцать офицеров его гарнизона, — вещь правдоподобная, если принять во внимание, как не сходен был его образ мыслей со всеми прочими людьми. Он дрался со всеми поочередно, поставив лишь условием, чтобы ему дозволено было играть на скрипке в промежутках между встречами с каждым из его противников. И он обезоружил или поразил всех своих оппонентов. Легко вообразить себе, на сколько такой темперамент не мог снискать симпатии и в среде начальствующих лиц. Он вышел в отставку в 1833 году.

Его эпоха «погони за открытием» не вызвала никакого внимание в обществе. Он, казалось, заподозрил своего отца в предательстве каким-то необъяснимым образом, благодаря его сношениям с Гауссом, и вызвал достойного Вольфганга на дуэль. Не один раз, говорит его биограф, терпел он нужду в своей жизни, стараясь бросить свой беспутный образ жизни и обратиться опять к занятиям математикою. Но это ему не удавалось. Он умер 27 января 1860 года в разладе с миром и с самим собою.

Метагеометрия.

Теории, обыкновенно связываемые с именами Лобачевского и Болиайя, имеют особенное, любопытное соотношение с учением ο высшем пространстве.

Чтобы показать, в чем заключается это соотношение, я должен просить читателя, взять на себя труд, внимательно считать ряды точек, посредством которых я стану вычислять величину площадей известных фигур.

Кроме этого простого способа никаких иных математических вычислений не потребуется.

Предположим, что на фиг. 19 мы имеем плоскость, покрытую на правильных промежутках точками, так расположенными, что каждые четыре из них определяют собою квадрат.

Очевидно, если четыре точки определяют квадрат, то четыре квадрата встречаются в точке.

Таким образом, считая, что точка внутри квадрата принадлежит ему одному, мы можем сказать, что точка в углу квадрата принадлежит одинаково и ему и четырем другим квадратам, т.е. одна четвертая часть ее принадлежит каждому квадрату.

Так, например, квадрат ACDE (фиг. 21) содержит одну точку и имеет четыре точки по четырем углам. Так как одна четвертая часть этих четырех точек принадлежит квадрату, то все четыре вместе считаются за одну точку и величина квадрата, выраженная в точках, равна двум точкам, — потому что одна внутри и четыре по углам квадрата составляют две точки, исключительно ему принадлежащие.

Площадь же квадрата равняется двум квадратным единицам, в чем можно убедиться, начертив две диагонали, как показано на фиг. 22.

Отметим также, что этот квадрат равен сумме квадратов, построенных на линиях АВ, ВС, сторонах прямоугольного треугольника ABC. Таким образом, мы удостоверяемся в теореме, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов в прямоугольном треугольнике.

Теперь предположите, что мы задаемся вопросом, как определить то место, в правильной системе точек, где ляжет конец линии, если ее повернуть вокруг точки, придерживая неподвижно другой ее конец в этой самой точке.

Мы можем решить эту задачу в одном частном случае. Если мы найдем квадрат, лежащий наискось между точками, который будет равен квадрату, лежащему вдоль ряда точек, то мы будем знать, что стороны их равны между собою, а следовательно и сторона квадрата, лежащего в косвенном направлении, будет равна стороне квадрата, лежащего в прямом направлении. A так как величина и форма фигуры не изменятся, то это будет признаком ее вращение вокруг точки таким образом, что ее сторона, занимавшая первое положение, превратится в сторону во втором положении.

Таким квадратом будет тот, сторона которого равна пяти единицам длины.

На фиг. 23, в квадрате на АВ насчитывается:

9 точек внутри…9

4 в углах…1

4 стороны с 3 точками на каждой стороне, в сложности 1 Ѵг точки на каждой стороне, потому что они одинаково принадлежат двум квадратам β

В итоге 16. В квадрате на ВС имеется 9 точек. В квадрате AC насчитывается:

24 точки внутри…24

4 по углам…

или всего 25 точек.

Опять мы видим, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов на катетах.

Теперь возьмите квадрат AFHG, который больше, чем квадрат на АВ. Он содержит 25 точек:

16 внутри…16

16 на сторонах, считающихся за….. 8 4 в углах…1

составляющих вместе 25.

Если два квадрата равны, мы заключаем, что и стороны их равны. Следовательно линия AF, вращаясь около точки А, движется таким образом, что после некоторого поворота совпадает с линией AC.

Это — прелиминарное рассуждение, но оно заключает в себе все представляющиеся математические затруднение.

Существует два рода изменение тела, при которых объем его не изменяется.

Первый это тот, который мы сейчас рассматривали, — вращение; ко второму принадлежит то, что называем сдвигом.

Возьмите, например, книгу или столбик не скрепленных листов бумаги. Они могут скользить таким образом, что каждый подвигается на ниже лежащем, а все целое принимает вид на фиг. 24.

Но этот результат получается не вследствие одного сдвига, а вследствие сдвига, сопровождаемого вращением.

Сдвиг, собственно, происходит иным путем.

Возьмите квадрат ABCD на фиг. 25 и предположите, что его растягивают в обе стороны по одной из его диагоналей и, соразмерно с этим, сжимают его вдоль другой диагонали. Он примет вид, как показано на фиг. 26.

Сжатие и растяжение вдоль обеих линий перпендикулярных друг к другу и есть то, что называем сдвигом; он равносилен скольжению, показанному выше, в соединении с поворачиванием.

При простом сдвиге тело сжимается и раздается в двух, перпендикулярных друг к другу направлениях таким образом, что объем его остается без изменения.

Но мы знаем, что наши материальные тела сопротивляются сдвигу, потому что он насилует внутреннее распределение их частиц; вращаются же они, как одно целое, без такого внутреннего сопротивление.

Существует, однако, одно исключение. В жидком виде тела одинаково легко поддаются как сдвигу, так и вращению, т.е. нет большого оправление сдвигу, чем вращению.

Теперь предположите, что все тела приведены в жидкое состояние, в котором они одинаково легко поддаются и сдвигу и вращению и что тогда они перестроились в твердые тела, но таким образом, что сдвиг и вращение переменились ролями.

Другими словами- предположим, что когда тела приняли вновь твердый вид, то сдвигу они не стали оказывать внутреннего сопротивление, а наоборот, вращение стало насиловать внутреннее распределение.

То есть мы получили бы мир, в котором сдвиг занял бы место вращение.

Фиг. 27 представляет квадрат до сдвига. На фиг. 28 — квадрат после сдвига. Не то чтобы квадрат на фиг. 27 превратился в такой вид, но это результат сдвига некоторого квадрата не вытянутого. Это лишь косвенно поставленная фигура, как раньше мы брали косвенно поставленный квадрат. A так как тела в этом мире сдвига не противопоставляют ‘ему никакого сопротивление и сохраняют свой объем, то его обитатель, свыкшийся с таким явлением, не будет принимать в соображение, что они изменяют свой вид. Он будет называть ACDE квадратом, наравне с квадратом на фиг. 27.

Вообразим себе в этом мире Пифагора, производящего исследование по своему обыкновению.

Так как сдвиг не изменяет объема тела, то обитатель такого мира смотрел бы на сдвигающееся тело, как мы смотрим на вращающееся тело. Он сказал бы, что его форма не изменилась, но что оно несколько лишь повернулось.

Мы будем называть такие фигуры сдвинутыми квадратами. Посчитав точки в ACDE, находим: —

2 внутри…2

4 по углам…1

или в итоге…3.

Квадрат же, построенный на АВ, имеет 4 точки; квадрат на ВС имеет 1 точку. A так как квадрат на гипотенузе имеет не пять, а только три точки, то, оказывается, он равен не сумме квадратов катетов, а их разности.

Это отношение всегда сохраняется. Взгляните на фиг. 29.

Сдвинутый квадрат на гипотенузе:

7 точек внутри… 7 4 по углам

1

8

Квадрат на одном из катетов, нарисовать который может сам читатель:

4 внутри

8 на сторонах

4 в углах

4

4

1

9

а квадрат на другом катете равен 1. Следовательно, и в этом случае разность равна сдвинутому квадрату на гипотенузе,

9 — 1 = 8

Таким образом в мире сдвига квадрат, построенный на гипотенузе был бы равным разности квадратов, построенных на катетах.

На фиг. 29 bis начерчен другой квадрат, на котором можно испробовать выше приведенное отношение.

Какое же примет положение линия при повороте сдвига?

Мы должны установить это таким же образом, как и в прошедшем случае.

Коль скоро сдвинутое тело остается тем же самым по величине, то мы должны найти два равных по величине тела, — одно в прямом направлении, другое в косвенном. Тогда сторона одного из них сделается при повороте стороною другого, ибо каждая из фигур представляет то, чем другая становится при сдвинутом повороте.

Мы можем разрешить эту проблему в одном частном случае:

В четырёхугольнике ACDE (фиг. 30) заключается:

15 точек внутри

4 в углах

15

 1

всего. 16

В квадрате ABGF тоже 16-

9 внутри

12 на сторонах

4 в углах

 9

6

 1

16

Отсюда следует, что квадрат на АВ при сдвинутом повороте становится сдвинутым квадратом ACDE.

Следовательно, обитатель этого мира сказал бы, что линия АВ превратилась в линию AC. Эти две линии были бы для него двумя линиями равной длины, причем одна повёрнута была бы на некоторый угол от другой.

То есть, заменив вращение сдвигом, мы получаем, в качестве результата сдвинутого вращение, отличный род фигуры в сравнении с тою, какая получается при обыкновенном вращении. Следствием изложенного положение конца неизменяемой по длине линии, коль скоро она поворачивается путем сдвигаемого вращение, получается иное в сравнении с тем положением, какое она приняла бы, поворачиваясь путем нашего вращение.

Действительная материальная палка в сдвигающемся мире, вращаясь вокруг точки А, перешла бы из положение АВ в положение AC. Мы говорим, что ее длина изменяется, когда она становится AC, но обитателю сдвигающегося мира это превращение АВ казалось бы лишь поворотом АВ без изменение в длине.

Если бы мы теперь вообразили, некоторый обмен мнениями между одним из нас и обитателем сдвигающегося мира, то, очевидно, получилась бы разница в оценке расстояний им и вами.

Мы сказали бы, что его линия АВ увеличилась в длине, поворачиваясь к AC. Он сказал бы, что наша линия AF (фиг. 23) уменьшилась в длине, поворачиваясь к AC. Он полагал бы, что линия, которую мы считаем равною, в действительности, короче.

Мы сказали бы, что концы поворачивающейся палки ложатся в положение на равных расстояниях. Это и он утверждал бы, но положение концов палки были бы различны. Он мог бы, подобно нам, ссылаться на свойства материи. Для него его палка столь же неизменна, как для нас — наша.

Но существует ли какое-либо мерило, на которое мы могли бы сослаться, утверждая ο правильности одного из двух мнений? Такого мерила нет.

Мы сказали бы, что с переменою положение очертание и форма его предметов изменились. Он сказал бы, что очертание и форма наших предметов изменились вследствие того, что мы называем просто переменою положение. Отсюда: вытекает, что расстояние, независимое от положение, непостижимо, или что расстояние есть лишь свойство материи.

Не существует никакого основного положение, на которое та или другая спорящая сторона могла бы сослаться. Нет ничего, что соединяло бы определение расстояние предпочтительнее с нашими идеями, чем с его идеями, за исключением свойства действительных частиц самой материи.

В деле изучение процессов, совершающихся в нашем мире, определение расстояние путем вычисление суммы квадратов имеет для нас чрезвычайно важное значение. Но в качестве проблемы просто пространства, минуя всякие относящиеся к нему бесполезные предположение, сдвигающийся мир столько же возможен и столь же интересен, как наш мир.

Лобачевский и Болиай и отдавались изучению геометрии таких, собственно, постигаемых умом миров. Такого рода геометрия, очевидно, не касается непосредственно четырехмерного пространства.

Однако связь с ним возникает этим путем. Я брал простой сдвиг и объяснял его той переменой в распределении частиц твердого тела, какой они подвергаются, не противопоставляя при этом никакого сопротивление, обусловливаемого их взаимным трением. Но я мог бы взять сложное движение, составленное из сдвига и вращение вместе, или какой-нибудь иной род осложнение.

Предположим такое изменение, которое обусловливалось бы простым вращением, тогда тип, согласно которому все тела будут изменяться путем этого вращение, сделается вполне определённым.

Глядя на движение такого рода, мы сказали бы, что предметы и изменяются в своей форме, и вращаются. Но обитателям такого мира эти же предметы казались бы неизменяющимися; наши же фигуры при своем движении, казалось бы им, изменяются в своей форме.

В таком мире геометрические свойства будут другие. Мы уже видели одно такое своеобразное свойство в иллюстрированном нами мириѵ сдвига, где квадрат на гипотенузе оказался равным разности, а не сумме квадратов на катетах.

В упомянутой иллюстрации мы имеем те же законы параллельных линий, как и в нашем обыкновенном мире; но вообще законы параллельных линий различны.

В. одном из этих миров, с иным строением материи, можно провести через точку две параллельные к данной линии, в другом из них нельзя провести ни одной параллельной, т.е., хотя бы и была проведена параллельная к другой линии, все же продолжение них встретятся.

Именно в отношении параллельных линий Лобачевский и Болиай открыли эти различные миры. Они не принимали их за действительные материальные миры, но лишь устанавливали, что пространство не непременно предполагает, чтобы наш закон параллельности линий был справедлив. Они находили разницу между законами пространства и законами материи, хотя и не в этой форме высказывали свои заключение.

Пришли они к своим заключениям следующим путем. Евклид признал существование параллельных линий за постулат, свободно приняв такое недоказанное предложение: через какую-либо точку можно провести к данной прямой линии только одну параллельную ей линию. Его девятый постулат формулирован так: «Если прямая линия, пересекающая две другие прямые линии, образует по одной и той же своей стороне внутренние углы, равные двум прямым углам, то эти две прямые линии никогда не встретятся».

Математикам позднейших веков не понравилось такого рода голословное утверждение и, не будучи в состоянии доказать эту теорему, они назвали ее аксиомой, -одиннадцатой аксиомой.

Делались опять многие попытки доказать эту аксиому; никто не сомневался в ее истине, но никакими способами не удавалось ее демонстрировать. Наконец, один итальянец, Саккиери, не будучи в состоянии найти доказательство, сказал: «Предположим, что это не верно», и принялся решать задачу при предположенной возможности провести две параллельные к данной линии через данную точку; но, чувствуя, что это не по силам для человеческого разума, он посвятил вторую половину своей книги опровержению того, что допустил в первой ее части.

Тогда Болиай и Лобачевский вступили твердым шагом на запрещенный путь. Ничто так ярко не свидетельствует ο неукротимости природы человеческого духа, или ο том явном его предназначении победить все ограничение, сдерживающие его в тесном круге внешних чувств, как это величественное выступление Болиайя и Лобачевского.

Возьмите линию АВ и точку С. Мы говорим и видим, и знаем, что через С может быть проведена только одна параллельная линия к АВ.

Но Болиай сказал: «Я проведу две». Пусть CD будет параллельною к АВ, т.е. не встречается с АВ, как бы ее далеко не продолжить и пусть линии по ту сторону CD также не встречаются с АВ. Пусть образуется известная область между CD и СЕ, в которой ни одна проведенная линия не встречается с АВ. СЕ и CD, продолженные назад через С, дадут подобную же область по другую сторону С. Ничего и никогда до сих пор не было написано столь горделиво и, можно сказать, столь нагло игнорирующего наши чувства. Люди боролись против ограничений, какие налагает на нас наше тело, препирались с ними, ненавидели их, одолевали их.

Но никто никогда не думал просто таким образом, как если бы это тело, эти телесные глаза, эти органы зрение и весь этот широкий опыт пространства не существовали вовсе. Вековая распря души с телом, борьба за преобладание, —  достигли кульминационного пункта. Болиай и Лобачевский именно так думали, как если бы тела не было. Борьба духа за власть, всякий спор и единоборство были окончены в пользу духа; на стороне духа сила и -венгерец провел свою линию.

Можем ли указать, как в случае с Парменидом, на какую-нибудь связь между этими умозрениями и высшим пространством? Можем ля предположить, что существовало какое-либо внутреннее познавание душою движение, не известного чувствам, — познавание, которое выразилось в этой теории, столь независимой от чувства? Никакое подобное предположение не кажется основательным.

Практически, однако, метагеометрия имела большое влияние на выдвижение высшего пространства на передний план в качестве рабочей гипотезы. Это можно отнести к склонности ума действовать в направлении наименьшего сопротивление. 1{заключениям новой геометрии нельзя было относиться с пренебрежением; проблема параллельных линий занимала слишком выпуклое место в развитии математики, чтобы можно было не считаться с ее последними вы-родами. Но эта крайняя независимость всех механических соображений, эта совершенная отчужденность от установившихся взглядов, представлялись настолько трудными, что почти со всякою другою гипотезою легче было примириться. Когда же Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского и Болиайя была геометриею кратчайших линий, проведенных на известных кривых поверхностях, тогда теория высшего пространства привлекла к себе внимание. Иллюстрациею теории Бельтрами служит простое рассмотрение гипотетического существа, живущего на сферической поверхности.

Пусть ABCD изображает экватор шара, a АР, BP — меридиональные линии, проведенные до полюса Р. Линии АВ, АР, BP будут казаться совершенно прямыми для лица, движущегося по поверхности шара и не сознающего его кривизны. Линии АВ и BP образуют прямые углы с АВ, следовательно они удовлетворяют условиям параллельности линий и, однако, встречаются в точке Р. Таким образом существо, живущее на сферической поверхности и не сознающее ее кривизны, найдет, что параллельные линии сходятся. Оно найдет также, что сумма углов в треугольнике больше двух прямых. Например, в треугольнике РАВ углы при A и Β прямые, почему сумма всех трех углов в треугольнике РАВ должна быть больше двух прямых.

И действительно, согласно одной из систем метагеометрии (после того, как Лобачевский показал дорогу, найдена была возможность установление и иных систем, кроме его системы) сумма углов в треугольнике больше двух прямых.

Таким образом, обитатель сферической поверхности составил бы себе такие понятие ο своем пространстве, как если бы он жил на плоскости, материя которой обладала бы такими свойствами, какие допускает одна из этих систем геометрии. Бельтрами также открыл некоторую поверхность, на которой можно провести через точку более чем одну «прямую» линию, не пересекающуюся с другою данною линиею. Я употребляю слово «прямая» в смысле линии, обладающей свойством представлять кратчайший путь между двумя какими-либо точками. Следовательно, не поступаясь обыкновенными методами измерение, возможно найти условие, при которых житель плоскости имел бы необходимый опыт, соответствующий геометрии Лобачевского. Принимая же в соображение высшее пространство и тела, ограниченные кривыми поверхностями в таком высшем пространстве, можно считаться с подобными же опытами в трехмерном пространстве.

ИВ конце концов гораздо легче вообразить себе существование пространства высшего измерение, чем представить себе вращающуюся вокруг одной точки палку таким образом, чтобы конец ее не описывал круга. A так как логически построенные понятие оказалось труднее усвоить, чем понятие ο четырехмерном пространстве, то мысль обратилась к последнему, как к простому объяснению возможностей, на какие указал Лобачевский. Мыслители уже привыкли иметь дело с геометрией высшего пространства — это был Кант, говорит Веронезе, первый, употребивший выражение «различные пространства», — а вместе с привычкою к нему стала чувствоваться и законность существование этого понятие.

С того времени остается сделать лишь небольшой шаг в деле согласование обыкновенных механических понятий с высшим пространственным существованием, и тогда признание объективного существование последнего нельзя будет дальше откладывать. И здесь также, как во многих иных случаях, выходит, что порядок и соотношение в области наших идей соответствуют порядку и соотношению вещей в природе.

Какое же имеют значение для нас труды Лобачевского и Болиайя?

Они должны быть признаны как нечто совершенно отличное от понятие ο высшем пространстве; они применимы лишь к пространствам разных измерений. Поставив понятие ο расстоянии в зависимость от материи, с которой оно неразрывно связано, эти труды обещают величайшую помощь в деле анализа, потому что действительное расстояние между какими-либо двумя частицами представляет результат сложных материальных условий и не может быть оцениваемо тесными, шаблонными правилами. Окончательное их значение далеко еще не выяснилось. Они представляют нечто освободившееся от оков чувства, несовпадающее с признанием высшего измерение, но косвенно содействующее ему.

Итак мы приходим, в конце концов, к тому, ο чем Платон догадывался и что подразумевает аристотелева доктрина относительности вещества. И широкая вселенная имеет нечто выше себя; a начиная сознавать это, мы находим, что руководящее внутри нас бытие не держится непременно в стороне от нашего систематического знание.

ГЛАВА VI. Высший мир.

Странным, действительно, образом мы приступаем к составлению понятий ο высшем мире.

Простейшие предметы, окружающие нас в нашей повседневной жизни, в роде^: дверей, стола, колеса — совершенно непознаваемы и чужды в мире четырех измерений, между тем как «отвлеченные идеи ο вращении, ο силе, напряжении, упругости, которые добываются нами путем анализа привычных нам элементов ежедневного опыта, могут быть переводимы туда без всякого затруднение и считаться там уместными. Таким образом, мы поставлены в необычное положение, будучи вынужденными, устанавливать то, в чем именно заключается ежедневный, обыкновенный опыт четырехмерного существа и исходить при этом лишь из знакомства с абстрактными теориями ο пространстве, материи д движении в четырехмерном пространстве. Это совершенно обратный процесс тому, с каким имеем дело в жизни, в течение которой переходим от богатого материала для восприятие внешними чувствами к абстрактным теориям.

Чем будет колесо в четвертом измерении? Какой рычаг для передачи силы имеет в своем распоряжении четырехмерное существо?

Четырехмерным колесом и четырехмерным рычагом мы и займемся на этих нескольких страницах. И это составляет вовсе не какое-нибудь пустое, ничтожное исследование. В области попыток проникнуть в природу высшего, ввести в наш кругозор то, что является трансцендентальным и превосходит всякие сравнение, вернее всего материальный, физический путь, идя по которому, мы имеем больше вероятие избежать ошибок, чем если будем следовать проторенною дорожкою созидание вымыслов, как бы они ни казались нам своею возвышенностью и красотою идеально совершенными.

Когда мы озабочены только своим собственным ходом мыслей, когда мы работаем над развитием наших собственных идеалов, мы, как будто, помещаемся на некоторой кривой и движемся на ней в каждый данный момент по касательной. Куда мы стремимся, что мы устанавливаем и превозносим как совершенство, изображается не действительным склонением кривой линии, но нашим собственным направлением в текущий момент, т.е. стремлением, обусловленным всем нашим прошедшим и жизненною энергиею нашего основного побуждение, которое тогда лишь истинно, если постоянно видоизменяется. Вечного корректора наших стремлений и идеалов материальная вселенная величественно доставляет нам как в лице простейших вещей, которые мы можем трогать руками и направлять по своему разумению, так и в лице бесконечной дали звездного пространства. Все это вместе взятое, совершенно равнодушное ко всему тому, что мы об нем думаем, или что мы чувствуем, представляет собою один непоколебимый факт, с которым, будем ли его считать добром или злом, приходится нам лишь сообразоваться. Но среди всей этой, окружающей нас бесстрастности, мы не можем терять из виду нечто, существующее вне наших личных надежд и опасений, поддерживающее нас л обусловливающее наше существование.

И вот к этому великому бытию мы обращаемся с вопросом: «Что делает тебя высшим?»

Или, чтобы поставить наш вопрос в такой форме, при которой не было бы места бессодержательным заключениям, и чтобы приступить к разрешению проблемы с самой доступной ее стороны, спросим: «Чем будет колесо и рычаг в четырехмерной механике?»

Вступая на путь такого исследование, мы должны составить план образа действие. Избираемый мною метод заключается в том, чтобы проследит тот ход рассуждение, при помощи которого существо, ограниченное движениями двухмерного мира, могло бы достигнуть понятие ο наших поворотах и ο нашем вращении, но затем применить аналогичный процесс мышление к высшим движениям. Обитателя плоскости следует воображать не как нечто отвлеченное, по как действительную плоть, обладающую всеми тремя измерениями. Ограничение его деятельности плоскостью должно считаться следствием физических условий.

Следовательно мы будем думать ο нем, как ο выкроенной фигуре из бумаги, помещенной на гладкой поверхности. Скользя в своей плоскости и приходя в соприкосновение с другими фигурами, одинаково тонким и, как и он сам в третьем измерении, он будет судить об них только по их краям. Для него они будут вполне ограничены линиями. Реальным телом будет для него тело двухмерного протяжение, ко внутренности которого можно достигнуть, только проникнув сквозь ограничивающие его линии.

Такой обитатель плоскости может представлять себе наше трехмерное существование двояким образом.

Во-первых, он может думать ο нем, каяк ο ряде сечений, из коих каждое подобно знакомому ему двухмерному телу и которые расположены в направлении ему неизвестном, простирающемся поперек осязаемой им вселенной, под прямым углом ко всякому делаемому им движению.

Во-вторых, отказываясь представить себе трехмерное твердое тело в его делом, он может его воображать состоящим из множества плоских сечений, совершенно похожих на известные ему двухмерные тела, но простирающихся вне его двухмерного пространства.

Квадрат, лежащий в его пространстве, он рассматривает как тело, ограниченное четырьмя линиями, из коих каждая лежит в его пространстве.

Квадрат, стоящий под каким-либо углом к его плоскости, кажется ему просто линиею, потому что он весь, за исключением одной линии, простирается в третьем измерении.

Он может воображать себе трехмерное тело состоящим из множества сечений, каждое из которых начинается от линии в его пространстве.

Так как в его мире всякий чертеж или модель, какие он в состоянии сделать, заключают в себе только два измерение, то он в состоянии представить себе каждое такое прямое сечение, как оно соответствует действительности и может представить себе поворот из известного в неизвестное ему измерение, как поворот от одного известного к другому известному для него измерению.

Чтобы усмотреть целое, он принужден поступиться частью того, что имеет и составлять понятие ο целом по частям.

Вообразите теперь обитателя плоскости перед квадратом (фиг. 34). Квадрат может поворачиваться кругом любой точки в плоскости, — например, точки A. Но он не может поворачиваться кругом какой-нибудь линии, например, линии АВ. Для того, чтобы повернуться вокруг линии АВ, квадрат должен выйти из плоскости и двигаться в третьем измерении. Такое движение находится вне сферы, доступной для его наблюдение, и, следовательно, является для него непостижимым иначе, как в силу лишь какого-нибудь особого процесса рассуждение.

Таким образом, вращение — будет для него лишь вращением вокруг точки. Вращение вокруг линии будет для него непонятным.

Результат вращение вокруг линии он может подметить. Он может видеть первое и последнее занимаемые положение при полуобороте! квадрата вокруг линии AC. В результате такого полуоборота квадрат ABCD переместится с права на лево относительно линии AC. Это будет соответствовать проталкиванию всего тела ABCD сквозь линию AC, или воспроизведению твердого тела, которого точным отражением является линия AC. Это было бы равносильно тому, как если бы квадрат превратился в свое изображение, причем линия АВ служила бы зеркалом. Получать такого рода обратные положение частей квадрата было бы невозможным в его пространстве. Подобные случаи были бы доказательством существование высшей протяженности.

Предположите теперь, что он, усвоив себе понятие ο трехмерном теле, как ο ряде сечений, лежащих одно позади другого в направлении перпендикулярном к его плоскости, считает куб (фиг. 36) состоящим из ряда сечений, одинаковых с квадратом, образующим его основание, и крепко соединенных друг с другом.

Если он поворачивает квадрат вокруг точки A в плоскости ху, то каждое параллельное сечение поворачивается вместе с двигаемым им квадратом. В каждом из сечений есть точка в покое, лежащая вертикально над точкою А. Отсюда он должен заключить, что при повороте трехмерного тела существует линия, остающаяся в покое. В этом заключается трехмерное вращение вокруг линии.

Подобным же образом взглянем на самих себя, как ограниченных трехмерным миром в силу физических условий. Вообразим себе, что существует некоторое направление, образующее прямой угол с каждым направлением, по которому мы можем двигаться и что нам препятствует проследовать в этом направлении некоторое громадное тело, по которому мы при всяком движении лишь скользим, подобно тому, как скользит обитатель плоскости в своем плоском мире.

Мы можем рассматривать четырехмерное тело состоящим из ряда сечений, параллельных нашему пространству и расположенных друг за другом в неизвестном для нас направлении.

Возьмите простейшее четырехмерное тело начинающееся в виде куба (фиг. 36) в нашем пространстве и состоящее из сечений, в виде того же куба на фиг. 36, лежащих вне нашего пространства. Если мы поворачиваем куб, представляющий основание этого тела, в нашем пространстве, — если, например, на фиг. 36, поворачиваем куб вокруг линии АВ, то не только наш куб, но и каждый из параллельных ему кубов движется вокруг некоторой линии. Куб, видимый нами, движется вокруг линии АВ, следующий за ним куб движется вокруг линии параллельной АВ и т. д. Следовательно, все четырехмерное тело движется вокруг некоторой плоскости, потому что совокупность этих линий, согласно складу нашей мысли, соответствует плоскости, которая, начинаясь от линии АВ в нашем пространстве, отходит в неизвестном направлении.

В этом случае все, что мы видим из всей этой плоскости, в которой происходит вращение, составляет лишь одну линию АВ.

Но очевидно, что плоскость, служащая осью вращение, может лежать и в нашем пространстве. Плоскость, совместно с лежащею вне ее точкою, определяет трехмерное пространство. Когда точка начинает вращаться вокруг плоскости, она не движется где-либо в трехмерном пространстве, а тотчас из него выходит. Точка столько же не может вращаться вокруг плоскости в трехмерном пространстве, сколько она не в состоянии вращаться вокруг линии в двухмерном пространстве.

Применим теперь второй способ представление высшего тела к случаю вращение вокруг плоскости и будем созидать нашу аналогию шаг за шагом, начиная с вращение в плоскости вокруг точки, затем в пространстве вокруг линии, и т. д.

Для того, чтобы сделать наши соображение по возможности менее сложными, постараемся осознать_; как обитатель плоскости будет объяснять себе то движение, вследствие которого квадрат поворачивается вокруг линии.

Пусть, на фиг. 34, ABCD изображает квадрат в его плоскости; изобразим также два измерение в его пространстве, обозначенные осями Ax, Ау.

Движение, вследствие которого квадрат вращается вокруг линии AC, подразумевает третье измерение.

Он не может себе представить поворота всего квадрата, но может представить себе движение его частей. Назовем третью ось, перпендикулярную к плоскости бумаги, осью ζ. Из трех осей х, у, ζ обитатель плоскости может себе; представить только две какие-нибудь оси в своей плоскости. Пусть он начертит, фиг. 35, две: таких оси, χ и ζ. Здесь он имеет в своей плоскости изображение того, что существует в плоскости, отходящей перпендикулярно к его пространству.

В этом изображении квадрат не может быть показан, потому что в плоскости xy из всего квадрата заключается только линия АВ.

Таким образом, житель плоскости получит, фиг. 35, изображение одной линии АВ своего квадрата и двух осей x и y, под прямым углом друг к другу. Для него очевидно, что при знакомом ему повороте, т.е. путем вращение вокруг точки, линия АВ может поворачиваться вокруг A и, занимая последовательно все промежуточные положение, подобные АВ, может лечь после полуоборота в положение Ах, но как бы продвинутое сквозь A по другую его сторону.

Подобно тому, как он может изобразить вертикальную плоскость линиею АВ, он может также изобразить ее и линиею А’В, фиг. 34, и подобным же образом может видеть, что линия А’В’ может поворачиваться вокруг точки А, пока не ляжет в противоположном направлении в сравнении с тем направлением, в каком она лежала первоначально.

Эти два поворота не заключают в себе ничего несообразного с действительностью. Если бы поворот линии АВ вокруг точки А, или линии А’В’ вокруг А, происходил в одной плоскости, то целость квадрата нарушилась бы; такое движение было бы невозможным. Но в повороте, наблюдаемом жителем плоскости по частям, ничего нет несообразного. Каждая линия квадрата может поворачиваться таким образом, и житель плоскости может себе представить поворот всего квадрата, как сумму поворотов множества отдельных его частей. Если бы эти повороты происходили в его плоскости, они были бы несуразны; но в силу третьего измерение они объясняются и в общем результате квадрат поворачивается вокруг линии AC и принимает положение, которое является как бы зеркальным отражением занимаемого им первоначального положение. Таким образом, он в состоянии сознать поворот вокруг линии, простудившись одною из своих осей и изображая свой квадрат по частям.

Применим этот метод к такому повороту куба, при котором он становился бы зеркальным изображением самого себя. В нашем пространстве мы в состоянии провести три независимых оси — х, у, ζ, показанные на фиг. 36. Предположите, что существует четвертая ось, w, которая составляет прямой угол с каждою из первых трех осей. Мы не можем, сохраняя все три оси — х, у, ζ, изобразить w в нашем пространстве; но если поступимся одною из наших осей, тогда четвертая ось может занять ее место и мы будем в состоянии изобразить то, что лежит в пространстве, определяемом двумя удержанными осями ц четвертою осью.

Предположим, что мы выбросили ось у и заменили ее осью w, в качестве оси заменяющей ее направление. Мы имеем на фиг. 37 чертеж того, что останется в поле нашего зрение из всего куба. Квадрат ABCD останется без перемены, потому что он помещается в плоскости хz, которою мы еще обладаем. Но от этой плоскости куб простирается в направлении оси у, а так как ось у отброшена, то для нас осталась от куба только его грань ABCD. Рассматривая эту грань, мы заключаем, что ее можно свободно повернуть вокруг линии АВ. Она может вращаться в направлении от χ к w вокруг этой линии. На фиг. 38 она показана на пути своего вращение и, конечно, может продолжать поворачиваться, пока не ляжет по другую сторону оси y в плоскости хz.

Мы можем также взять сечение параллельное грани ABCD и затем, дозволив выпасть всему нашему пространству за исключением плоскости этого сечение, ввести ось w, пролегающую в прежнем у направлении. Это сечение может быть воспроизведено тем же чертежом, фиг. 38, из которого мы видим, что оно может поворачиваться вокруг линии в левую сторону, пока, сделав пол-оборота, не станет в противоположное направление в сравнении с тем, какое занимало первоначально. Эти повороты разных сечений не представляют собою что-либо несуразное и, взятые в совокупности, приводят куб из положение, показанного на фиг. 36, в положение, показанное на фиг. 41.

В нашем пространств-е мы имеем три оси в своем распоряжении и мы вовсе не обязаны изображать ось w какою-нибудь одною из них, особенною. Мы можем любую из них предположить исчезнувшею и заменить ее четвертою осью.

Пусть на фиг. 86 отпала ось г. Доступным нашему зрению останется от куба лишь квадратное его основание ACEG в плоскости ху, как показано на фиг. 39. Если станет на место оси z. ось zy, то в изображенном пространстве хуzѵ на фиг. 39 от куба продолжает существовать только его квадратное основание. Путем поворота от χ к w это основание может вращаться вокруг линии АЕ, как показано на фиг. 40 и после полуоборота оно ляжет по другую сторону оси у. Подобным же образом мы можем вращать сечение, параллельные основанию вращение, от χ к w и каждое из них последовательно станет в противоположном направлении в сравнении с тем, какое оно занимало первоначально.

Таким образом, куб перейдет опять из положение на фиг. 36 в положение на фиг. 41. В этом повороте от χ к w мы видим, что он совершается вследствие вращение сечений, параллельных передней грани, вокруг линий, параллельных АВ; или, иначе, мы можем принимать этот поворот за вращение сечений, параллельных основанию, вокруг линий, параллельных АЕ. Это есть вращение всего куба вокруг плоскости ABEF. В нашем пространстве два отдельных сечение не могли бы вращаться вокруг двух отдельных линий без столкновение, но их движение становится возможным, если принимаем во внимание иное измерение. Житель плоскости может принимать вращение вокруг линии за вращение вокруг множества точек, причем эти вращение не препятствуют друг другу, как они препятствовали бы, если бы совершались в двухмерном пространстве. Подобным же образом мы можем принимать вращение вокруг плоскости за вращение множества сечений тела вокруг множества линий в плоскости, так как эти вращение не будут невозможными в четырехмерном пространстве, какими они являются в трехмерном пространстве.

Мы вовсе не связаны условием придерживаться какого-нибудь особого направление линий в плоскости, вокруг которой предполагаем происходит вращение отдельных сечений. Начертим сечение куба, фиг. 36, через точки A, F, С, Н, определяющие наклонную плоскость. Так как четвертое измерение простирается под прямым углом к каждой линии в нашем пространстве, то оно образует также прямой угол и с этим сечением. Мы можем изобразить наше пространство, начертив ось под прямым углом к плоскости ACEG, тогда наше пространство определится плоскостью ACEG и перпендикулярной осью. Если выкинем эту ось и предположим, что ее заменила четвертая ось w, то получим изображение пространства, простирающегося в четвертом измерении от плоскости ACEG. В этом пространстве мы увидим от всего куба только его сечение ACEG, так как один куб вовсе не простирается в четвертое, и, зная эту плоскость, мы вводим четвертое измерение, то получаем пространство, в котором существует только это сечение и ничего больше. Сечение может поворачиваться вокруг линии AF я параллельные сечение могут поворачиваться вокруг параллельных линий. Таким образом, в отношении вращение вокруг плоскости мы можем изображать ее в любом направлении, и считать возможным вращение вокруг нее последовательных сечений.

Чтобы лучше это выяснить, возьмем две параллельные линии A и Β в пространстве xyz; CD и EF пусть будут два прута, пересекающие эти линии выше и ниже плоскости ху, фиг. 42. Если мы повернем пруты в нашем пространстве вокруг линий A и В, То, по мере того как верхний конец одного из них, F, пойдет вниз, нижний конец другого прута, С, направится вверх. Они встретятся и столкнутся. Но в четвертом измерении эти два прута могут свободно поворачиваться вокруг двух линий, не изменяя своих относительных расстояний.

Чтобы убедиться в этом, предположите, что ось у исчезла и ее место заняла ось w. Мы не увидим больше линий A и В, так как из· точек G и Η они исчезли в направлении у.

Фиг. 43 представляет положение двух прутов в пространстве xzw. Вращаясь в направлении показанном стрелками от ζ к w, они движутся параллельно друг другу, сохраняя свои относительные расстояние. Каждый вращается вокруг своей собственной линии, причем их вращение нисколько не является несовместным с тем обстоятельством, что они составляют часть несгибающегося тела.

Чтобы получить представление о массе материи простирающейся на равных расстояниях с каждой стороны поперечной плоскости, нам остается теперь предположить центральную плоскость с прутами пересекающими ее в каждой точке, подобно тому, как CD и EF пересекают плоскость ху. Точно так же как эти пруты в состоянии вращаться, могут вращаться и все остальные, а следовательно и вся масса материи, вокруг своей поперечной плоскости.

Это вращение вокруг плоскости в четвертом измерении соответствует вращению вокруг оси в третьем измерении. Вращение тела вокруг плоскости аналогично вращению прута вокруг оси.

В плоскости мы имеем вращение вокруг точки; в трехмерном пространстве вращение происходить вокруг осевой линии; в четырехмерном пространстве вращение вокруг осевой плоскости.

Для четырехмерного существа рычагом, служащим для передачи силы, является некоторый диск, вращающийся вокруг своей центральной плоскости, очертание которой соответствует концам оси вращение в нашем пространстве. Четырехмерное существо может передавать вращение с одного пункта на другой, подобно тому, как в трехмерном пространстве может быть передано вращение вокруг линии с одного конца стержня на другой.

Четырёхмерное колесо легко можно себе представить, судя по аналогии с тем представлением, какое мог бы образовать себе житель плоскости об одном из наших колес.

Предположите, что колесо движется поперек плоскости таким образом, что весь его диск, который я беру сплошным и без спиц, приходит одновременно в соприкосновение с плоскостью. Колесо будет казаться круговой частью плоскости, совершенно окружающей другую, меньшую часть — ступицу.

Это явление будет длиться, пока колесо, продолжая двигаться, не пересечет плоскости на все протяжение своей толщины; и тогда в плоскости останется только маленький круг, представляющий сечение ступицы. Первоначально нельзя усмотреть в плоскости никакого иного пути для достижение ступицы, как сквозь самое вещество колеса. Но возможность достигнуть ступицы, не нарушив вещества колеса, сделается очевидною вслед за открытием, что сечение ступицы существует и по исчезновении колеса.

Подобным же образом четырехмерное колесо, движущееся поперек нашего пространства, казалось бы первоначально сплошною сферою, совершенно окружающею меньшую сплошную сферу. Внешняя сфера изображала бы колесо и видима была бы до тех пор, пока не пересекла бы нашего пространства во всю свою толщину.. Тогда осталась бы одна менышая сфера, представляющая сечение ступицы. Большая сфера могла бы двигаться вокруг маленькой совершенно свободно. Любая линия в пространстве могла бы быть принята за ось и вокруг этой линии внешняя сфера могла бы вращаться, между тем внутренняя сфера не участвовала бы в движении. Но во всех этих направлениях вращение одна линия, в действительности, оставалась бы неизменною, — это линия, простирающаяся в четвертом направлении и составляющая ось ступицы. Четырехмерное колесо может вращаться в любом количестве плоскостей, но все эти плоскости обладают одним общим свойством, заключающимся в том, что к ним всем может быть проведена линия под прямом углом, не изменяемая совершающимся в них вращением.

Приходится иногда слышать упреки по поводу аргументации, основанной на аналогии между миром плоскости, и мирами высших измерений. Находят слишком искусственною эту идею ο мире плоскости. Говорят, если бы можно было показать, что с поверхностями связано некоторое действительное существование, то это послужило бы доводом тому, что наше трехмерное существование поверхностно по отношению к какому-то иному миру. Но и по одну и по другую сторону знакомого нам пространства, как миры с меньшим, так и с большим чем три измерениями представляют лишь продукт воображение.

В ответ на это я замечу, что житель плоскости, имея меньше одним измерением в сравнении с нами, обладал бы одною третью наших возможностей движение, между тем, как мы имеем всего на одну четверть меньше этих возможностей, чем существо высшего измерение. Очень может быть, что требуется известное количество свободы движение, в качестве необходимого условие, для органического существование и что никакое материальное существование невозможно при менышем числе измерений, чем наше. К этому заключению, в особенности, приходим, если стараемся представить себе механику двухмерного мира. В таком мире никакая трубка не может существовать, если не предположить, что две параллельные линии, совершенно прижатые друг к другу, все же будут вполне разъединены. При таких условиях возможность органического строение весьма проблематична; однако, не представляют ли, например, изгибы мозга некоторый вид существование, соответствующий существованию двухмерному.

Стоит лишь нам предположить увеличение поверхности и уменьшение массы до известной степени, чтобы найти область, которая, хотя, и не будет обладать подвижностью составляющих ее частей, но будет подходить к понятию ο двухмерности.

Как бы, однако, ни была искусственна идея ο существовании в плоскости, тем не менее она применима при составлении идеи ο высшей измеримости в сравнении с нашею, а следовательно, указанные упреки совершенно неосновательны.

Есть, впрочем, возражение, кажущееся более веским. Возможно ли себе представить, чтобы в четырехмерном пространстве заключались существа, обреченные на трехмерное существование?

Но ведь мы можем принять за достоверный факт, что вся жизнь, в сущности, объявляется только на поверхности. Амплитуда возможных для нас движений несравненно больше вдоль земной поверхности, чем вверх от нее, или вниз.

Стоит лишь нам вообразить увеличение протяжение твердой поверхности, одновременно с соответственным уменьшением возможных поперечных к ней движений, и мы получим подобие трехмерного мира в четырехмерном пространстве.

A подобно тому, как наша обитель представляет место встречи воздуха с земною поверхностью в мировом пространстве, мы должны также думать, что место встречи двух обусловливает вообще свойство нашей вселенной. Встречи чего двух? Чем может быть эта вселенная в высшем пространстве, — вселенная, простирающаяся по такому совершенному уровню, малейшая кривизна которого не может быть обнаружена нашими астрономическими наблюдениями?

Совершенство уровня напоминает жидкость — некоторое маленькое озеро среди широкого пейзажа! — где материя вселенной плавает на подобие пятнышка.

Но в таком виде проблема походит на то, что называют в математике условиями предельности.

Мы можем проследить все следствие, обусловливаемые четырехмерными движениями, вплоть до мельчайших подробностей. Зная образ действие, свойственный мельчайшим частицам, когда они находятся в свободном состоянии, мы можем, судя по их действительной активности, прийти к заключению ο том, влиянию каких сил они подвержены. Коль скоро из двух элементов — материальных условий и движение — один известен, то другой может быть выведен. Если место, занимаемое этой вселенною, является встречею двух, то пространство будет односторонним. Если это место расположено таким образом, что то, что простирается в одном направлении, неизвестном, не сходно с тем, что простирается в другом направлении, то, — поскольку это касается движений, возникающих в этом пространстве, — получится разница, соответственная направлению движение. Эта разница выразится в несходстве явлений, которые, пока дело касалось лишь движений в трехмерном пространстве, были вполне симметричными. Возьмем пример, — не с целью настаивание на вероятности высказанного, а Просто для более точного выражение нашей идеи. Если бы можно было доказать, что положительный электрический ток совершенно подобен отрицательному току, за исключением переменных составных частей движение в трехмерном пространстве, то несходство в разряжении положительного и отрицательного полюсов было бы указанием на односторонность нашего пространства. Единственную причину различие в обоих разряжениях пришлось бы приписать сложному деятелю в четвертом измерении, который, двигаясь в одном направлении поперек нашего пространства, встречал бы иное сопротивление, в сравнении с сопротивлением, встречаемым в противоположном направлении.

ГЛАВА VI. Доказательства существование четвертого измерение.

В поисках за доказательствами существование четвертого измерение приходится, по необходимости, обратиться к методу, который прежде всего заключается в образовании понятий ο четырехмерных формах и движениях. Когда мы этого достигнем, тогда возможно будет заняться и наблюдениями; без этих понятий мы можем в течение всей своей жизни находиться в присутствии самых обыкновенных четырехмерных явлений, совершенно не подозревая этого.

Взять, хотя бы, одно понятие, уже разбиравшееся нами, — превращение действительного предмета в его зеркальное изображение; оно было бы явлением, весьма трудно объяснимым, без предположение существование четвертого измерение.

Мы ничего не знаем ο таком превращении. Но существует множество форм, свидетельствующих об известном отношении к плоскости, отношении со стороны симметрии, которое указывает более чем на случайное противоположение частей. Всеобщий тип органической жизни построен на симметрии правой и левой сторон; есть некоторая плоскость, по каждой стороне которой части соответствуют друг другу. Мы уже видели, что в четырехмерном пространстве плоскость играет ту же роль, что линия в трехмерном пространстве. В нашем пространстве основной тип вращение — это вращение вокруг оси; a происхождение тел, симметрически расположенных вокруг линии, подобно симметричности земли вокруг ее оси, — легко объясняется. Но, где наблюдается симметрия вокруг плоскости, никакое, знакомое нам, простое физическое движение не в состоянии ее объяснить. В нашем пространстве симметрический предмет должен быть построен путем равных придатков с каждой стороны центральной плоскости. Такие придатки вокруг такой плоскости столь же мало правдоподобны, как и всякие иные приращение. В нашем пространстве вероятность против существование симметрических форм в неорганической природе — подавляюща; и в органических формах столь же трудно было бы их произвести, как и всякие иные видоизменение в очертаниях. Для освещение этого положение мы можем сослаться на детскую забаву, посредством которой из чернильных клякс на куске бумаги получается подобие насекомых, после простого складывание бумаги. Кляксы разливаются по симметрической линии и производят впечатление насекомообразных форм с усиками и ножками.

Усматривая множество таких фигур, мы должны были бы естественно заключить ο некотором складывании или сгибании вдоль. Но может ли сгибание в четырехмерном пространстве служить объяснением симметрии. органических форм? Сгибание не может иметь места, конечно, по отношению видимых нами тел, но ему могут подлежать те мелкие составные части, первичные элементы живой материи, которые, будучи повернуты в ту или иную сторону, становятся правыми или левыми и производят соответственную структуру организмов.

Есть нечто в жизни, что не вмещается в наши понятие ο механическом движении. Принадлежит ли это к четырехмерному движению?

Если мы смотрим на жизнь без предвзятых взглядов, то находим нечто поразительное в том факте, что там, где жизнь объявляется, возникает совершенно отличный ряд явлений, от явлений, свойственных неорганическому миру.

Значение и ценность жизни, как мы это знаем по нам самим и по существующим вокруг нас второстепенным формам, всецело и совершенно отличны от всего того, что обнаруживает неорганическая природа. В живых существах мы имеем известный род формы и некоторое распределение материи совершенно иные в сравнении с неорганическою материею. Есть примеры симметрии вокруг оси, но не вокруг плоскости. Можно утверждать, что случаи симметрии в двух измерениях, подразумевают существование трехмерных процессов, например, когда камень падает в воду и производит круги ряби, или когда масса мягкого вещества вращается вокруг оси. Можно утверждать, что симметрия в каком-либо измерении служит доказательством известного действие в высшей измеримости. Рассматривая с такой точки зрение живые существа, находим, как в их строении, так и в их отличном в образе действие, доказательство чего-то приходящего извне в неорганический мир.

Возражение, какие немедленно представятся, в роде ссылок на формы двойчатых кристаллов, или на теоретическое строение химических молекул, не подрывает убедительности доводов, так как вероятное местопребывание фактора, производящего и эти формы, находится в той разреженной области, в которой мы по необходимости помещаем начало четырехмерной деятельности.

Еще и в ином отношении существование симметрических форм заслуживает внимание. Затруднительно понять, как могут существовать две формы совершенно равные, и одинаковые, которые нельзя наложить одна на другую. Такая пара симметрических форм как две руки, правая и левая, указывает или на известное ограничение в нашей двигательной силе, посредством которой мы не можем накладывать одну вещь на другую, «или на определенное влияние и, так сказать, насилие со стороны пространства над материею, насилие, налагающее дополнительные ограничение к тем, какие усматриваем в соразмерности частей.

Однако, мы отложим в сторону доказательства, вытекающие из рассмотрение симметрии, как мало убедительные, и удержим одно лишь ценное указание, доставляемое ими. Если симметрия существует в силу четырехмерного движение, то это движение может быть открыто только в самых мелких частицах тел, потому что не происходит ничего подобного сгибанию в четвертом измерении каких-либо предметов, которые доступны нашему зрению. Следовательно, нашему исследованию подлежат лишь область мельчайших, элементарных единиц. Мы должны искать явление, которые, будучи причиною движений известного нам рода, сами по себе необъяснимы в качестве какой-либо формы знакомого нам движение.

В своих теориях ο взаимодействии мельчайших частиц материи и в движении эфира математики в молчаливом согласии принимают, что начала механики остаются те же, что и для тел нами видимых; без доказательств принимается, что понятие ο движении в трехмерном пространстве остается правильным и вне той области, в которой оно возникло.

Ясно, что не из явлений, объясненных математиками, мы можем извлечь доказательства четвертого измерение. Каждый объясненный феномен объясняется в качестве феномена трехмерного. A так как в области мельчайших частиц материи не находим твердых тел, действующих друг на друга на расстоянии, но встречаемся лишь с упругими веществами и сплошными флюидами в роде эфира, то нам предстоит двойная задача.

Раньше, чем приступить к наблюдениям, мы должны выработать понятие ο возможных движениях упругой и жидкой четырехмерной материи. Вернемся, поэтому, к четырехмерному вращению и осведомимся, что происходит в случаях вращение растяжимых и текучих веществ. Если существуют четырехмерные движение, то и этот вид вращение должен существовать, а мельчайшие частицы материи должны его обнаружить.

Взгляните на прут из гибкого, растяжимого материала. Он может вращаться вокруг оси, даже не будучи прямым; резиновое кольцо можно вывернуть изнутри наружу.

Чем это выразилось бы в четвертом измерении?

Возьмем какой-нибудь шар из нашей трехмерной материи, обладающей определенной плотностью. Чтобы изобразить эту плотность, предположим, что в каждой точке шара, фиг. 44, продеты палочки, которые углубляются внутрь и выходят наружу, подобно D и F. Мы можем видеть лишь внешние части палочек, потому что внутренние их части скрыты материею шара.

Предполагается, что в этом шаре ось χ имеет направление в сторону наблюдателя, ось направлена вверх, а ось у — вправо.

Возьмем теперь сечение, определяемое плоскостью zy. Это будет круг, как показано на фиг. 45. Если мы выкинем ось χ, то останется только этот круг -от всего шара. Дозволив оси w занять место прежней оси х, мы получаем пространство yzw, и в этом пространстве все, что остается от шара, составляет один только круг. На фиг. 45 и изображено именно то, что имеем от шара в пространстве yzw. Очевидно, в этом пространстве палочки CD и EF могут вращаться вокруг окружности, как бы вокруг оси. Если материя этой сферической скорлупы настолько растяжима, чтобы дозволить частицам С и Ε раздвинуться на такое расстояние, какое они занимали бы в положении D и F, то полоска материи, изображенная посредством CD и EF и множество палочек подобного же рода могут вращаться вокруг этой окружности.

Итак, это особое сечение шара может выворачиваться изнутри наружу; а что верно по отношению одного сечение, должно быть верно и по отношению прочих сечений. Следовательно, в четырех измерениях может весь шар выворачиваться изнутри наружу, если он состоит из растяжимой материи. Сверх того, любая его часть, — например, чашевидный участок, — может выворачиваться изнутри наружу и т. п.

Это, в действительности, то же самое, что мы раньше утверждали относительно вращение вокруг плоскости. Мы лишь убеждаемся теперь в том, что коль скоро материя растяжима, то плоскость может быть даже изогнута и это вовсе не помешает ей играть роль оси.

Если мы предположим, что сферическая скорлупа состоит из четырехмерной материи, то наше изображение несколько изменится. Допустим, что эта материя обладает некоторою толщиною в четвертом измерении. Это не введет никакого изменение на фиг. 44, на которой изображен лишь вид в пространстве xyz. Но когда ось χ удалена и ее заменяет ось w, то палочки CD и EF, представляющие материю скорлупы, будут; обладать известной толщиной в направлении перпендикулярном к плоскости бумаги, на которой они нарисованы. Коль скоро же они обладают толщиною в четвертом измерении, то таковая может быть усмотрена в направлении оси w.

Следовательно, предположив, что эти палочки представляют нечто в роде маленьких лоскутьев, укрепленных у окружности круга, на фиг. 45, мы не видим в этом случае никакой помехи для их вращение вокруг окружности. Таким образом, мы можем получить скорлупу из растяжимого материала, или из жидкости, выворачивающейся изнутри наружу в четырех измерениях.

И мы должны помнить, что в четырех измерениях нет ничего подобного вращению вокруг оси. Если мы желаем исследовать движение жидкостей в четырех измерениях, мы должны взять движение вокруг оси в нашем пространстве и найти соответствующее движение вокруг плоскости в четырехмерном пространстве.

Из всех движений, наблюдаемых в жидкостях, самым важным является с физической точки зрение — водоворот.

Водоворот — это круговое движение, или вихрь; образчиком его служит вращающееся облако пыли, поднимающееся иногда в летний день, или, в большем масштабе, встречаем его в разрушительном ходе циклона.

Колесо, вращаясь, отбрасывает приставшие к нему частицы воды. Но когда это круговое движение происходит в самой жидкости, оно удивительно устойчиво. Здесь, без сомнение, проявляется известное сцепление между частицами воды, в силу которого они взаимно препятствуют своим движениям. Но можно показать, что в жидкости, лишенной трение, т.е. такой, где каждая частица на своем пути не зависит от бокового сцепление, водоворот, или вихрь, выделяет из всей массы жидкости известную ее часть, которая всегда остается в водовороте.

Форма водоворота может видоизменяться, но он всегда состоит из одних и тех же частиц жидкости.

Замечательная особенность такого водоворота заключается в том, что верхний и нижний его концы не могут оставаться, так сказать, подвешенными и изолированными в жидкости. Они должны постоянно стекать к краям жидкости. Невозможно в воде такое круговое движение, которое оставалось бы постоянным в своей средней части и не поднималось к вершине.

Концы водоворота должны достигать краев жидкости; края же могут быть или внешними, или внутренними. Водоворот может существовать между двумя предметами в самой жидкости и примыкать к ним своими концами, причем эти предметы определяют тогда внутренние края жидкости. Концы водоворота могут быть также сцеплены вместе, так что водоворот образует собою кольцо. Вихревые кольца такого рода часто случается видеть в клубах дыма, a то обстоятельство, что дым подвигается вперед в форме кольца, служит доказательством тому, что вихрь всегда состоит из тех же самых частиц воздуха.

Исследуем теперь, чем водоворот будет в четырехмерной ёмкости.

Мы должны заменить линейную ось плоскостною осью и тогда, следовательно, получим часть жидкости, вращающейся вокруг плоскости.

Мы видели, что очертание этой плоскости соответствуют концам линейной оси. Отсюда следует, что края такого четырехмерного водоворота должны совпадать с краями жидкости. Получается известная, ограниченная область водоворота. Если такое вращательное движение начнется в одной части круговой границы жидкости, то его края станут распространяться во всех направлениях, пока вся внутренняя область не будет охвачена полосой водоворотной.

Водоворот в трехмерной жидкости может состоять из множества как бы водоворотных волокон, совокупно образующих трубу, или стержень водоворота.

Подобным же образом мы можем иметь в четырех измерениях множество водоворотных полос, расположенных одна вдоль другой, причем каждая из них может быть нами представлена в роде чашевидной части сферической скорлупы, выворачивающейся изнутри наружу. Вращение происходит в любом пункте, но не в пространстве, занимаемом скорлупою, а из этого пространства в направлении четвертого измерение и обратно.

Существует ли что-нибудь аналогичное в области, доступной нашему наблюдению?

Электрический ток во всех отношениях соответствует такому описанию. Электричество не течет поперек проволоки. Его действие ощущается в обе стороны от исходного пункта вдоль проволоки. Искра, свидетельствующая ο прохождении током полупути по окружности, появляется позже, чем искры в точках, близких к исходной точке по обе ее стороны.

Сверх того, известно, что действие тока заключается не в самой проволоке. Оно заключается в области, обнимаемой проволокою; проволока служит лишь полем для силы, местом проявление действий тока.

Необходимость же для тока ведущей окружности представляет именно то, что и следовало бы ожидать, если электрический ток является четырёхмерным вихрем. По Максвеллу каждый ток образует замкнутую окружность, а это, с четырехмерной точки зрение, равносильно тому, если сказать, — водоворот должен иметь свои концы на краях жидкости.

Таким образом, согласно гипотезе четвертого измерение, вращение (текучего) эфира обусловит феномен электрического тока. Мы должны предположить, что эфир переполнен движением, потому что чем более вникаем в господствующие условие существование таинственных мельчайших частиц материи, тем более убеждаемся в беспрестанно и вечно царствующем движении. Итак, мы можем сказать, что идея ο четвертом измерении подразумевает существование в нем явлений, представляющих характерные свойства электричества.

Мы знаем теперь, что свет — это процесс электромагнетический и что, далеко не будучи чем-то специальным и обособленным для данного случая, этот электрический процесс является, напротив, универсальным в царстве мельчайших частиц материи. Отсюда не имеем ли права заключить, что четвертое измерение, вовсе не будучи для нас чем-то чуждым и отдаленным, имеющим лишь символическое значение, служащим лишь некоторым термином для объяснение сомнительных фактов еще более непонятною теориею, в действительности является самым важным фактом, входящим в состав нашего знание. Наш трехмерный мир — это мир поверхностный. Те процессы, которые действительно лежат в основе всех материальных феноменов, ускользают от нашего наблюдение вследствие своей чрезвычайной тонкости и мелкости, но разоблачают нашему разуму амплитуду движение, превосходящую все, что мы в состоянии вообразить. Такие формы и движение представляются нам областью высшей интеллектуальной красоты, областью, к которой наши символические методы несравненно более применимы, чем к нашим трем измерениям.

ГЛАВА VIII. Идейное применение четырех измерений.

Сохраняя в памяти этот очерк догадок ο вселенной, как мире четырехмерном, и сведя в одно те факты движение, которые мы можем присоединить к нашему действительному опыту, перейдем к другой отрасли нашего предмета.

Инженер прибегает к различного рода чертежам и графическим построениям. Он пользуется, например, диаграммами, показывающими последовательность расширение пара, или указывающими на состоятельность ,и надежность клапанов, с которыми ему приходится работать. Такие диаграммы нужны ему рядом с действительными планами его машин. Они не представляют собою рисунков чего-либо в самом деле существующего, но дают ему возможность воспроизводить в уме те отношение, какие существуют между частями его механизмов.

Подобным же образом четырехмерное пространство, кроме того, что указывает на действительное существование мира, лежащего за каждым из видимых движений, дает еще возможность составить идеальные построение, которые содействуют воспроизведению в уме отношений между вещами и бросают определенный свет на то, что оставалось бы, иначе, в совершенных потемках.

Из большого числа весьма разнообразных примеров, имеющихся в моем распоряжении, я выберу два. Один касается предмета, не представляющего большого внутреннего значение, но, тем не менее, служит поразительным образчиком метода вычерчивание умозаключений и употребление фигур высшего пространства *).

Другой пример избран мною по причине положение, занимаемого им в отношении наших основных понятий. Здесь я старался раскрыть действительный смысл кантовской теории опыта.

Исследование свойств чисел много облегчается тем фактом, что отношение между числами сами могут быть выражены в числах, например, 12 и 3 — два числа, а отношение между ними — 4, тоже число. Таким образом, открыт путь для конструктивных теорий без необходимости прибегать к иному классу понятий, сверх данного класса, в области которого изучаем явление.

Создавшаяся, таким образом, дисциплина чисел имеет громадное и разнообразное применение; но, чтобы всесторонне понимать явление природы, мы не можем ограничиться изучением их лишь с количественной стороны. Невозможно объяснить свойства материи одними лишь числами; всякая материальная деятельность представляет, прежде всего, энергию в пространстве. Последняя же не только численно определенна, но, без сомнение, она также определенна и в своем направлении.

Нет надобности говорить, что существует столь же полезное учение ο пространстве, как и учение ο числах. Это геометрия. Но, рядом с обыкновенным геометрическим методом, есть еще метод, который, представляя аналогию с численным методом, заслуживает того, чтоб его выдвинуть на более видное место, в сравнении с тем, какое он обыкновенно занимает.

Отношение между числами есть число.

Этот пример интересен еще и потому, что из него ясно следует, что в процессах нашей мысли играют роль и иные способности кроме логики. Эта идея, вполне оправдывающаяся, заимствована из рассмотрение симметрии, составляющей, собственно, отрасль прекрасного.

Можем ли сказать также, что отношение между формами есть форма?

Можем.

Возьмем для примера два прямоугольных треугольника при данной гипотенузе, но имеющих катеты разной длины, фиг. 46. Эти треугольники представляют формы, имеющие известные отношение между собою. Покажем их отношение в качестве некоторой фигуры.

Проведем две прямых линии под прямым углом друг к другу, одну HL, горизонтальный уровень, а другую VL, вертикальный уровень (фиг. 47). Посредством этих двух координат мы можем изобразить двойной ряд величин: один ряд в качестве расстояний вправо от вертикального уровня, другой — в качестве расстояние выше горизонтального уровня. При этом должна быть избрана соответственная единица меры.

Таким образом, линия обозначенная цифрою 7 отметит все точки, расстояний которых от вертикального уровня равняется 7 единицам меры, а линия, обозначенная цифрою 1, отметит точки превышение которых над горизонтальным уровнем равно 1 единице. Точка встречи обеих линий, 7 и 1, определит пункт, который по отношению к одному ряду величин будет 7, по отношению же к другому ряду будет 1.

Возьмем теперь катеты наших треугольников, как два ряда величин, ο которых идет речь.

Точка 7,1 будет соответствовать треугольнику, катеты которого —7 ,и 1. Подобным же образом, точка 5,5 т. е. 5 вправо от вертикального уровня и 5 выше горизонтального уровня, — будет соответствовать треугольнику, катеты которого равны 5 и 5 (фиг. 48).

Таким образом, мы получили фигуру, состоящую из двух точек 7,1 и 5,5, представляющих наши два треугольника. Но мы можем идти дальше, для чего опишем соответственным радиусом дугу вокруг точки 0, места пересечение горизонтального и вертикального уровней.

Дуга пройдет через точки 7,1 и 5,5 и мы удостоверимся в том, что все прямоугольные треугольники, имеющие гипотенузу, квадрат которой равен 50, представлены точками

по этой дуге.

Итак, каждый индивид известного класса может быть представлен точкою; весь же класс изображается собранием точек, образующих фигуру. Принимая такое изображение, мы можем придавать определенное и подлежащее вычислению значение выражению, сходству, или подобию между двумя индивидами изображаемого класса, причем ο различиях можем судить по длине линии между двумя соответственными точками. Нет надобности увеличивать число примеров, или показывать, как, соответственно различию между классами треугольников, мы получим различные кривые.

Изображение такого рода, при котором какой-нибудь предмет в пространстве воспроизводится как точка, а все его свойства не принимаются во внимание и передается только в воспроизводимой точке занимаемое им положение по отношению к другим предметам, может быть названо полиграфом, по аналогии с годографом сэра Вильяма Гамильтона.

Полученные таким образом изображение носят положительный и определенный характер, свойственный самим предметам, ими изображаемым. Недостаток в них полноты и совершенства обязан, вероятно, отсутствию полноты в. тех наблюдениях, которые составляют основание для их построение.

Каждая система классификации есть полиграф. Например, в системе элементов Менделеева каждый элемент представлен точкою, а отношение между элементами представлены отношениями между точками.

До сих пор я просто старался выдвинуть на подобающее место процессы и соображение, которые более или менее общеизвестны. Но это заслуживает того, чтобы обратить наше полное внимание на наши обычные предположение и приемы. Часто случается, что мы находим, будто два из них имеют некоторое отношение друг к другу, но, не обращая на это надлежащего внимание, мы лишаем себя удобного случая испытать их взаимное влияние.

Это факт, с которым следует считаться, обсуждая теорию полиграфа.

В отношении наших познаний ο мире мы очень далеки от тех условий, какие представлялись Лапласу, когда он утверждал, что всезнающий ум мог бы определить будущее состояние каждого предмета, коль скоро ему известны были бы координаты частиц этого предмета в пространстве и их скорость в каждый данный момент.

Наоборот, в лице любого объекта природы мы встречаем громадную сложность состояний, которые мы не можем превратить в положение в пространстве и во времени.

Есть и масса, и, по-видимому, самопроизвольное притяжение, и электрические, и магнетические свойства, которые должны быть надбавлены к пространственным очертаниям. Одним словом, мы должны сказать, что практически явление в мире представляют для нас проблемы, заключающие в себе многие переменные, которые мы должны принимать за независимые.

Отсюда следует, что, составляя полиграфы, мы должны быть приготовлены к пользованию пространством более чем трехмерным. Если симметрия и полнота наших изображений могут принести нам некоторую пользу, то мы должны быть подготовлены к оценке фигур большей сложности, чем фигуры в трех измерениях. Невозможно привести в качестве примера такой полиграф, который не был бы просто тривиальным, коль скоро не входил бы в подробности некоторого рода, не относящиеся к нашему предмету. Я скорее предпочту ввести не относящиеся к делу подробности, чем стану небрежно относиться к этой части содержание моей книги.

Возьмем в качестве примера полиграф, который не ведет к осложнениям, обыкновенным при применении его в научной классификации; для этого последуем за г-жой Алисой Буль-Стотт и посмотрим как она изображает силлогизм путем полиграфа. Ей будет интересно узнать, что обнаруженный ею любопытный пробел имеет некоторое значение.

Любой силлогизм состоит, во-первых, из двух утверждений, — или первой и второй посылок и, во-вторых, из заключение, какое может быть из них выведено. Возьмем пример на фиг. 49. Если взглянуть на последовательный ряд фигур, становится очевидным, что коль скоро мы знаем, что область Μ вполне помещается в области Ρ и точно также знаем, что область S вполне помещается в области Μ, то, несомненно, можем заключить, что область S вполне помещается и в области P. Μ укладывается в области Ρ — первая посылка; S укладывается в Μ — вторая посылка; S укладывается в Ρ — заключение. Обладая первыми двумя данными, мы должны заключить, что S вполне помещается в Р. Заключение — S есть в Ρ — подразумевает два термина S и Р, которые по отношению друг к другу играют роль подлежащего и сказуемого. S является подлежащим в заключении, Ρ — сказуемое заключение.

Существует несколько способов утверждение, обладающих разными степенями общности. Эти разные формы утверждение назовем фазами.

Мы возьмем первую посылку как одну переменную, как нечто поддающееся разным видоизменениям одного и того же рода, а вторую посылку — как другую переменную и будем рассматривать различные фазы, как определенные изменение, каким подвергаются эти переменные.

Есть четыре фазы:

1. Общее утверждение; все Μ заключаются в Р,— фаза А.
2. Общее отрицание; ши одно Μ не заключается в Р, — фаза Е.
3. Частное утверждение; некоторые Μ заключаются в Р, — фаза I.
4. Частное отрицание; некоторые Μ не заключаются в Р, — фаза 0.

Линии, обозначенные пунктиром в 3 и 4 фазах на фиг. 50, показывают, что неизвестно, существуют ли, или не существуют какие-либо объекты, соответствующие пространству, ограничиваемому пунктирными линиями. Таким образом, в фазе I мы не знаем, есть ли какие-нибудь М, которые не заключаются в Р; мы знаем лишь, что есть некоторые М, которые заключаются в Р.

Изображая первую посылку в ее разнообразных фазах при помощи квадратов между вертикальными линиями вправо от линии PQ, мы получим, на фиг. 51, соответственно четырем буквам АЕИО, четыре колонны, каждая из которых показывает, что первая посылка дана в фазе, отмеченной соответственною буквою. Таким образом, первая колонна вправо от линии PQ изображает фазу А. Считая же вверх от линии RS, обозначим четыре ряда квадратов, соответствующих четырем фазам второй посылкам. A потому первый ряд квадратов выше RS, т. е. все пространство между RS и первою горизонтальною линиею выше этой последней, обозначает, что вторая посылка дана в фазе А. Подобным же образом буквы Ε, I, Ο характеризуют фазы второй посылки в рядах, лежащих против этих букв.

Нам остается еще показать, как получить заключение. Для этого мы должны рассматривать заключение как третью переменную, характеризуемую в ее различных изменениях четырьмя фазами, что составит силлогистическую классификацию. Введение третьей переменной обусловливает некоторое изменение в нашей системе изображения.

Для последовательного изображение фаз первой посылки до сих пор мы отступали вправо от известной линии; теперь мы должны отступать вправо от известной плоскости. Пусть LMNR будет гранью куба, фиг. 52. Вообразим, что этот куб разделен на четыре части вертикальными сечениями, параллельными LMNR. Переменная первая посылка изображена последовательными отрезками куба, лежащими вправо от плоскости LMNR; тот отрезок куба, против которого поставлено А, имеет значение фазы А, т. е. вся эта четверть куба представляет в каждой своей части первую посылку в фазе А.

Подобным же образом следующий отрезок, против которого поставлена буква Е, представляет в каждом из своих шестнадцати маленьких кубиков первую посылку в фазе Е. Третий и четвертый отрезки, получаемые путем вертикальных сечений, дают первую посылку в фазах I и 0. Но куб можно разделить и иначе, другими плоскостями. Пусть деление, из которых первые четыре параллельны лицевой грани куба, соответствуют второй посылке. Первая со стороны зрителя стенка из шестнадцати кубиков имеет ту особенность, что каждый ее кубик представляет собою вторую посылку в фазе А. Переменная вторая посылка изменяется по фазам A, Е, G, О, начиная с лицевой стороны куба или от передней плоскости, часть лишь которой составляет лицевая грань.

A теперь мы можем представить и третью переменную точно таким же образом. Мы можем принять заключение за третью переменную, проходящую свои четыре фазы, начиная с плоскости в основании куба по направлению вверх. Особенность каждого из малых кубиков, лежащих в основании всего куба, заключается в том, что представляемое им заключение находится в фазе А.

Итак, повторим вкратце. Первая стенка из шестнадцати малых кубиков, т. е. первая из четырех стенок, которые, следуя слева на право, составляют в сложности весь куб, носит в каждой своей части характер первой посылки в фазе А.

Вторая стенка обозначает первую посылку в фазе Ε и т. д. Считая спереди назад, первая стенка представляет участок, в каждой части которого вторая посылка является в фазе А. Вторая стенка — это участок, где вторую посылку находим в фазе Ε и т. д. В рядах, идущих снизу вверх, заключение проходит разные фазы, начиная с A в нижнем, Ε во втором, I в третьем и 0 в четвертом ряду.

Обыкновенно, когда переменные, изображаемые полиграфом, проходят через длинный ряд фаз, плоскости, от которых мы измеряем степени их изменение на нашем изображении, берутся неопределенного протяжение. В нашем случае, однако, мы имеем дело с областью вполне определенною.

Мы должны теперь удостовериться, каждое ли сочетание посылок оправдывается своим заключением. Этого мы можем достигнуть, отмечая отрезки куба, определяемые данными посылками и находя соответствующие заключение.

Обращаясь к знакомому нам сочетанию, где первая посылка гласит — все Μ укладываются в Р, а вторая — все S укладываются в М, мы заключаем, что все S укладываются в Р. Следовательно, в данном случае один отрезок должен быть отмечен тот, который представляет первую посылку в фазе А; другой отрезок — который представляет вторую посылку в фазе A и третий отрезок, представляющий заключение в фазе А. Общий всем этим отрезкам будет тот кубик, который лежит в левом нижнем углу большого куба.

Поступая таким образом, мы находим, что отрезками, подлежащими отметке, являются именно те, какие показаны на фиг. 53. Возьмем, например, случай, отмеченный кубиком наверху фиг. 53. Здесь первая посылка представлена второю стенкою вправо, является в фазе Ε и принадлежит к типу — ни одно из Μ не помещается в Р. Вторая посылка находится в фазе, соответствующей третьей стенке, считая от лицевой стороны куба, и принадлежит к типу — некоторые Μ помещаются в Р. Из этих посылок мы выводим заключение, что некоторые S не помещаются в Р, заключение, являющееся в фазе 0. Фаза 0 заключение представлена в верхнем ряду. Отсюда мы видим, что наш способ отметки правилен в этом отношении.

Возможно, конечно, изобразить куб ка плане при помощи четырех квадратов, как показано на фиг. 54, если мы сочтем, что каждый квадрат изображает лишь начало заменяемого им отрезка. Таким образом, весь куб может быть представлен четырьмя вертикальными квадратами, из коих каждый изображает собою нечто в роде вертикального лотка с соответственною отметкою. На № 1 первая посылка является в фазе A для всего отрезка, обозначенного вертикальным квадратом из шестнадцати подразделений; на № 2 та же посылка в фазе Ε и т. д.

Существо, ограниченное плоскостью, принуждено было бы принять именно такой разъединительный способ для воспроизведение всего куба. То, что мы видим как целое ему пришлось бы представлять себе по частям и каждая часть только представлялась бы в уме, а не действительно была бы тем кубическим содержимым, которое мы усматриваем.

С точки зрение плоского существа вид этих четырёх квадратов не был бы таким же, как с нашей точки зрение. Оно не усматривало бы внутреннего в них объема; для него каждый из квадратов заключался бы целиком в своем очертании, — внутренние границы отдельных, маленьких квадратов оно не могло бы усмотреть иначе, как отодвинув внешние квадраты.

Теперь мы подготовлены ввести четвертую переменную, заключающуюся в силлогизме.

Определяя буквы для обозначение терминов силлогизма, мы привели S и Ρ в качестве изображающих подлежащее и сказуемое в заключении и, таким образом, в заключении порядок букв неизменен. Но в посылках мы произвольно установили порядок —все Μ в Ρ и все S в М. Нет никакого основание почему бы Μ вместо Ρ не могло быть сказуемым первой посылки и т. д.

Соответственно с этим соображением мы принимаем порядок в посылках как четвертую переменную. В этом порядке усматриваются четыре видоизменение, которые называются фигурами.

Примем, что порядок, в котором буквы написаны, обозначает, что первая проставленная буква изображает собою подлежащее, а вторая — сказуемое; тогда мы получим следующие возможности:

	1-я фиг.	2-я фиг.	3-я фиг.	4-я фиг.
1-я посылка.	MP	РМ	MP	РМ
2-я посылка.	SM	SM	MS	MS

Следовательно, как в отношении посылок, так и в отношении этой четвертой переменной представляются четыре возможности.

Мы пользовались нашими способами измерение пространства для изображение фаз посылок и заключения; для аналогичного же изображение изменений фигур мы нуждаемся в четвертом измерении.

Но, желая ввести в круг наших манипуляций четырехмерное пространство, мы должны изменить наши начала измерение, подобно тому, как мы это делали, переходя от плоскости к кубическому пространству.

Предполагается, что четвертое измерение перпендикулярно к каждому из трех измерений нашего пространства, подобно тому, как третье пространственное измерение перпендикулярно к двум измерениям плоскости; а это дает нам возможность образовать некоторое понятие ο нового рода объекте. Если весь куб движется в четвертом измерении, то само тело его чертит путь, каждая часть которого, взятая перпендикулярно к направлению этого движение, составляет кубическое тело, или точное повторение самого куба.

Куб, как мы видим, представляет начало тела такого именно рода. Он представляет собою нечто в роде лотка, подобно тому как квадратная грань самого куба представляет тоже нечто в роде лотка, к которому прилегает куб.

Предположите, что куб движется в этом четвертом измерении в четыре стадии и пусть область высшего куба, вычерчиваемая в первой стадии, характеризуется тем, что термины силлогизма являются тогда в первой фигуре. Следовательно, в каждую из последующих трех стадий мы можем изобразить остальные три фигуры. Таким образом весь куб образует основание или базис, от которого мы отсчитываем перемену в фигуре. Первая фигура соответствует видимому нами кубу и тому высшему телу, которое лежит в первой стадии; вторая фигура соответствует второй стадии и т. д.

Итак мы отсчитываем от всего куба столько раз, сколько имеется фигур.

Но мы видели, что, измеряя в самом кубе, имеющем три переменные, а именно, две посылки и заключение, мы отмеривали от трех плоскостей. Основанием или базисом, от которого мы отмеривали, служила в каждом случае плоскость.

Следовательно, измеряя в высшем пространстве, мы должны иметь базис для отмеривания соответственного же рода, т. е. мы должны иметь базис кубический.

Ясно, что первый кубический базис — это самый куб. Второй базис может быть определен по следующим соображениям.

Кубическим телом, от которого мы отмериваем фигуру, будет то тело, в котором переменные проходят через полный ряд видоизменений.

Так, если нам надо ориентироваться в отношении фаз первой посылки, мы должны испытать вторую посылку, заключение и порядок терминов. То есть мы должны принять за базис для отмеривание в отношении фаз первой посылки то, что изображает перемену фаз второй посылки и заключение, а также и то, что изображает изменение фигур.

Перемена фаз второй посылки и заключение изображена квадратной гранью левой стороны куба. Здесь находятся все видоизменение второй посылки и заключение. Видоизменение фигур представляются стадиями движение, совершающегося под прямым углом ко всем направлениям в нашем пространстве, а следовательно под прямым углом и к упомянутой грани на левой стороне куба.

Следовательно, дозволив левой грани двигаться в четвертом направлении, мы получим куб, и в этом кубе будут представлены все видоизменение второй посылки, заключение и фигуры.

Таким образом получается второй кубический базис для отмеривание положение куба, порождаемого движением левого квадрата в четвертом измерении.

Остальные базисы мы находим подобным же образом. Третий базис есть куб, порождаемый лицевым квадратом, движущимся в четвертом измерении. От этого куба отмериваются видоизменение в фазах второй посылки. Четвертый базис находим, двигая нижний квадрат куба в четвертом измерении. В этом кубе даны видоизменение первой и второй посылок и фигуры. Рассматривая этот куб как базис для четырех стадий, из него проистекающих, мы должны иметь в виду, что видоизменение в фазах заключение уже даны.

Каждый из этих кубических базисов может быть представлен в нашем пространстве, а следовательно высшее кубическое тело, производимое ими, лежит вне нашего пространства. Оно может быть представлено лишь путем находчивости, подобной той, посредством которой обитатель плоскости представляет себе куб.

Он изображает куб, как показано выше, взяв его четыре квадратных сечение и помещая их произвольно на некотором расстоянии одно от другого.

Точно так же и мы должны изображать это высшее кубическое тело посредством четырех кубов, из коих каждый представляет лишь начало соответственного высшего объема.

Следовательно, достаточно для нас, если мы начертим четыре куба, из коих первый будет представлять область, соответствующую фигуре первого рода, второй—область соответствующую фигуре второго рода, и т. д. Эти кубы изображают лишь начала соответственных областей; они являются, так сказать, как бы лотками, от которых начинаются и к которым прилегают реальные кубические тела. Первый куб, будучи началом области, соответствующей первой фигуре, характеризуется тем порядком терминов в посылках, какой усматривается в первой фигуре. Второй, подобным же образом, имеет термины посылок в порядке второй фигуры и т. д.

Эти кубы показаны ниже.

Ради того, чтобы показать свойства этого метода изображение, но не ради логических целей, я сделаю некоторое отступление. Я изображу в пространстве фазы второй посылки и фазы заключение и различные фигуры, сохраняя первую посылку неизменно в фазе А. Здесь мы имеем три переменные в различных стадиях — вторую посылку, заключение и фигуру. Вообразим, что квадрат левой стороны первоначального куба стоит сам собой без кубической части куба, как это изображено на (2) фиг. 55.

Буквы A, Ε, I, Ο, проставленные горизонтально, изображают фазы второй посылки; буквы A, Ε, I, 0, следующие вертикально, изображают фазы заключение. При этом надо помнить, что весь квадрат изображает начало того сечение куба, которое соответствует первой посылке в фазе А.

Предположим, что от этого квадрата направление, в котором располагаются фигуры, простирается в левую сторону. Тогда мы получим куб (1), прилегающий к указанному квадрату; самый квадрат скрыть за кубом, но остаются видимыми буквы заключение A, Ε, I, 0. В этом кубе мы имеем изображение всех фаз второй посылки и заключение, а также и изображения всех фигур. Относительно первой посылки мы можем сказать, что так как грань (2) составляет первую стенку слева в первоначальном распределении, а в данном случае изображает первую посылку в фазе A, то весь этот куб (1), сейчас нами построенный, представляет фазу A первой посылки.

Следовательно, самый правый маленький кубик, в нижнем ряду под № 1, ближайший к зрителю, представляет первую посылку в фазе А, вторую посылку в фазе А, заключение в фазе A и первую фигуру. Следующий кубик, примыкающий к первому слева, представляет первую посылку в фазе А, вторую посылку в фазе А, заключение в фазе A и вторую фигуру.

Таким образом в этом кубе мы имеем изображение всех сочетаний, какие только могут случиться, когда первая посылка находится в фазе А, т. е. вторая посылка, заключение и фигуры проходят через все свои видоизменение.

В этом случае нет места в нашем пространстве для точного изображение фаз первой посылки. Чтобы изобразить их, мы должны предположить, как прежде, что существует четвертое измерение. Направляясь же от этого куба, как основы, в четвертое измерение в четыре равные стадии, мы находим, что весь первый объем соответствует первой посылке в фазе А, второй — первой посылке в фазе Е, следующий — фазе I и последний— фазе 0.

Видимый нами куб представляет лишь как бы лоток, к которому примыкает четырехмерное тело. Сечение последнего в каждой стадии — есть куб. Но направление, в котором простирается это высшее тело, должно проходить поперек всего нашего пространства и не может быть изображено каким бы то ни было передвижением в нашем пространстве. Мы можем показать лишь последовательные стадии прохождение куба в этом направлении, но не в состоянии показать окончательного результата такого прохождение, как бы он мал ни был.

Но возвратимся к первоначальному методу изображения наших переменных. На фиг. 56 четыре куба изображают четыре сечение высшей фигуры, возникающей из нашего куба при его движении в четвертом измерении. Первая часть движение, начинающаяся с (1), описывает сверх кубическое тело, которое все заключается в первой фигуре. Начало этого тела показано на (1). Следующая часть движение описывает сверх кубическое тело, которое полностью заключается во второй фигуре; начало этого тела показало на (2). Третья и четвертая части движение следуют подобным же образом. Здесь, следовательно, в одной четырехмерной фигуре мы имеем все сочетание четырех переменных, т. е. получаем изображение первой и второй посылок, фигуры и заключение, причем каждая переменная проходит через свои четыре видоизменение. Начерченные здесь отдельные кубы соответствуют нашему представлению высшего тела в пространстве при помощи его разъединенных сечений.

Но мы должны сказать, что только ограниченное число заключений, добытых таким образом, является правильным. Правильность их зависит от особенностей сочетаний соответствующих им посылок и фигур. Вся в совокупности фигура, представляемая таким образом, может быт названа миром мысли по отношению к этим четырем составным частям, а из этого «мира» возможных сочетаний уже дело «области» логики избирать такие сочетание, которые соответствуют результатам работы наших умственных способностей.

Мы можем проследить каждую из посылок во всех ее фазах и отыскать то заключение, к какому они приводят. Но это дело специальных сочинений по логике. Здесь мы заинтересованы лишь во внешнем представлении результатов и воспользуемся ниже приводимыми мнемоническими строками, в которых слова, взятые в скобки, относятся только к фигурам и не имеют никакого особого значения: —

Barbara, Celarent, Darii, Ferio que (prioris);

Cesare, Camestres, Festino, Baroko (secundae);

(Tertia) Darapti, Disamis, Datisi, Felapton,

Bokardo, Ferison, habet (Quarta in super addit),

Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

В этих строках каждое, имеющее значение слово, обладает тремя гласными. Первая гласная относится к первой посылке и указывает на ее фазу; например «а» означает, что первая посылка дана в фазе а. Вторая гласная относится ко второй посылке и дает ее фазу. Третья гласная относится к заключению и дает его фазу. Таким образом (prioris) первой фигуры, или первое мнемоническое слово, составляет «Barbara», которое дает первую посылку в фазе А, вторую посылку в фазе A и заключение в фазе А. Согласно с этим мы отмечаем в первом из наших четырех кубов нижний, левый, лицевой кубик. Возьмем другой пример. В третьей фигуре «Tertia» слово «fresison» дает нам первую посылку в фазе Ε — например, ни одного Μ в Р; вторую посылку в фазе I — некоторые Μ заключаются в Р; заключение в фазе 0 — некоторые S не заключаются в Р. Следовательно кубик, подлежащий отметке, находится в третьем кубе, во второй строчке, считая слева, для первой посылки; в третьей стенке, считая от лицевой стороны,—для второй посылки и в верхнем ряду для заключение.

Легко убедиться, что этот кубик помечен на чертеже и что помечены подобным же образом все надлежащие заключение. Помеченные места показывают, какие существуют сочетание четырех переменных, т. е. первой и второй посылок, фигуры и заключение.

Другими словами, — мы объективируем все возможные заключение и строим некоторую идеальную схему всех возможных сочетаний их с посылками, причем из таковых сочетаний мы исключаем те, которые не удовлетворяют законам логики. Остающиеся является силлогизмом, рассматриваемым как правило мышление. Рассматривая форму, представляемую совокупностью правильных заключений, не находим в ней явных признаков какой-либо симметрии, или каких-либо легко различаемых характерных черт.

Тем не менее получается поразительное очертание, если мы проектируем такую четырехмерную фигуру на трехмерную, т. е. если мы наносим на основном кубе все те кубики, которые где-либо отменены в ряду четырех стадий, отходящих от основного куба.

Этот процесс соответствует извлечению всех фигур, дающих правильные заключения, каковы бы фигуры ни были.

Поступая таким образом, мы получаем распределение помеченных кубиков, показанное на фиг. 57. Мы видим, что правильные заключение группируются почти симметрично вокруг одного кубика, а именно, кубика вверху колонны, характерной по своим фазам AAA. В этой схеме существует, однако, некоторый перерыв. Остается неотмеченным один кубик, который если бы был отмечен, то получилась бы полная симметрия. Этот кубик можно обозначить буквами I, Е, О, так как он находится в третьей стенке вправо, во второй стенке от лицевой стороны куба и в верхнем ряду. Такая комбинация посылок в фазе I Ε с заключением в фазе Ο не упоминается, сколько мне известно, ни в одном из сочинений по логике. Вникнем в нее по собственным соображениям, так как кажется, что, в связи с этим перерывом, кроется нечто любопытное.

Предложение I, Ε представляют следующие фигуры, как показано на фиг. 58:—Первая фигура: некоторые Μ заключаются в Р; ни одно S не заключается в М. Вторая фигура: некоторые Ρ заключаются в М; ни одно S не заключается в М. Третья фигура: некоторые Μ заключаются в Р; ни одно Μ не заключается в S. Четвертая фигура: некоторые Ρ заключаются в М; ни одно Μ не заключается в S.

Рассматривая эти фигуры, начиная с первой, мы видим, что коль скоро некоторые Μ заключаются в Ρ и ни одно S не заключается в Μ, то мы не можем вывести никакого заключение об отношении S к Ρ в различных фазах. Совершенно невозможно определить, каким образом круг, представляющий S, относится к кругу, представляющему Р. Он может лежать внутри, вне, иди частью внутри P. То же самое соображение является справедливым и в отношении 2 и 3 фигур. Но когда мы обращаемся к четвертой фигуре, находим, что коль скоро Μ и S лежат совершенно вне один другого, то внутри S не может лежать та часть Р, которая лежит внутри М. Но мы знаем из первой посылки, что некоторые Ρ лежат в М, a следовательно S не может вмещать в себе Ρ целиком. Если некоторые Ρ заключаются в Μ и ни одно Μ не заключается в S, То S не содержит в себе всего Р. Если мы примем Ρ за подлежащее, то получим сказуемое ο Ρ в фазе 0 — некоторые Ρ не заключаются в S. Но таковое не дает нам заключение об S ни в одной из четырех форм, признаваемых силлогизмом и называемых фазами. Следовательно, этот перерыв, или нарушение связности в полиграфе, дает нам возможность установить недостаток полноты в отношениях, рассматриваемых в силлогизме.

Возьмем пример: некоторые американцы (Р) имеют африканское происхождение (М); никто из арийцев (S) не имеет африканского происхождение (М); арийцы (S) не включают целиком американцев (Р).

Для того, чтобы сделать какое-нибудь заключение об S, мы должны допустить, что утверждение «S не содержит в себе всего Р» представляет законную логическую форму;—таково лишь возможное утверждение об S. Но такая логика, которая дает нам формулу «некоторые Ρ не заключаются в S» и которая не дозволяет нам употребить совершенно равносильную и равноценную формулу «S не содержит в себе всего Р», — такая логика является весьма искусственною.

И я намерен показать, что такого рода искусственность ведет к некоторой погрешности.

Кто полагался на вышеприведённые мнемонические строки, тот должен теперь убедиться, что никакого логического заключение нельзя извлечь из утверждение «некоторые Ρ заключаются в Μ и ни одно Μ не заключается в S».

Тем не менее одно заключение может быть сделано: S не содержит в себе всего Р.

Это не значит, что заключение выражено лишь в иной форме. Мнемонические строки являются отрицанием возможности вывести какое-либо заключение из посылок в фазах I, Ε соотносительно.

Таким образом простой четырехмерный полиграф дал нам возможность обнаружить ошибку в мнемонических строках, которые передавались, никем неоспариваемые, со времен средних веков. Обсуждая сущность этих строк, защищающий их логик сказал бы, вероятно, что частное утверждение не может составлять первую посылку и отрицал бы, таким образом, существование четвертой фигуры в сочетании фаз.

Обратимся к нашему примеру: некоторые американцы имеют африканское происхождение; никто из арийцев не имеет африканского происхождение. Логик сказал бы, что вытекающее здесь заключение таково: некоторые американцы не принадлежат к арийскому племени; а так же настаивал бы на том, что второе утверждение является здесь первою посылкою. Он отказался бы сказать что-либо об арийцах, присуждая нас к полному умолчанию об них, поскольку дело касается этих посылок! Но, коль скоро существует утверждение, касающееся отношение между двумя классами, оно должно быть выражено в смысле утверждение ο каждом из обоих классов.

Не признавать заключение «арийцы не включают целиком американцев», является просто средством для удержание во что бы то ни стало ложной классификации.

Утверждение об универсальности первой посылки так же не выдерживает критики. Этим исключались бы такие сочетание, как первая посылка в фазе 0, вторая посылка в фазе A и заключение в фазе 0, например, сочетание в таком роде: — некоторые горы (М) не долговечны (Р); все горы (М) обладают сценичным видом (S); некоторые сценичные виды (S) не долговечны (Р).

Если такая комбинация допускается в логике, то отказ от обсуждение фаз I, Ε, 0 в четвертой фигуре —« необъясним. Удовлетворительный полиграф логической схемы может быть создан путем допуска к употреблению слов — некоторые, никакие и все, — как по отношению к сказуемому, так и к подлежащему. Следовательно, мы в праве выразить положение глухо: «арийцы не включают целиком американцев»; когда же оценим неясность такого выражение, можем сказать более правильно: «арийцы не представляют собою всех американцев». Такой метод носит имя «изменчивости подлежащего в количественном отношении».

Законы строгой логики совпадают с заключениями, какие можно вывести относительно областей пространства, обнимающих друг друга различным образом. Не трудно установить, следовательно, соответственные отношение, или получить симметрический полиграф. Но отвлекаться в этот отдел геометрии не входит в нашу настоящую задачу, которая заключается только в том, чтобы показать применение полиграфа в определённой и ограниченной области, не вникая в те сложности, с какими приходится иметь дело в случаях исследование некоторых предметов естествознание.

Если мы возьмем, например, растение и, не приписывая им определенных направлений в пространстве, соответствующих известным разновидностям, расположим характерные точки таким образом, чтобы они соответствовали подобию самих предметов, то получим очертание, представляющие особенный интерес. Быть может этим путем, создавая формы форм и пренебрегая телом, могло бы быть достигнуто некоторое глубокое ознакомление с видами и классами.

ГЛАВА IX. Приложение к Кантовской теории опыта.

Когда мы наблюдаем небесные тела, мы удостоверяемся в том, что все они принимают участие в одном всемирном движении, а именно, в суточном вращении вокруг полярной оси.

Относительно неподвижных звезд это является безусловно верным, но в отношении солнца и планет простое вращение вокруг оси осложняется и слегка изменяется другими, второстепенными движениями.

Следовательно, общая характерная особенность всех небесных тел заключается в том, что они ежедневно движутся по кругу.

Но мы знаем, что этот единый, великий факт, который кажется истинным в отношении всех небесных тел, в действительности вовсе их самих не касается. Суточное вращение, по-видимому совершаемое ими, является результатом условий, в какие поставлен наблюдатель. Такое универсальное утверждение относительно всех небесных тел может быть сделано лишь потому, что наблюдатель помещается на вращающейся земле.

Итак утверждение, совершенно законное относительно каждого из небесных тел, в то же время нисколько их не касается, а является лишь признанием условий самого наблюдателя.

Есть и другие, принимаемые нами универсальные утверждение. Мы говорим, что все, воспринимаемое путем опыта, существует в пространстве и подчиняется законам геометрии.

Следует ли понимать, что пространство и все, что под ним подразумевается, обязано своим происхождением условиям наблюдателя?

Если всемирный закон в одном случае ничего такого не подразумевает, что касалось бы самих объектов, а имеет лишь в виду условие наблюдателя, то можно ли распространить это и на все прочие случаи? В астрономии нам показана vera causa (истинная причина) для всеобщего утверждение. Можно ли проследить повсюду ту же самую причину?

Таково первое приближение к доктрине кантовской критики.

В этом заключается понятие об отношениях, какие взаимно устанавливаются между двумя вполне определенными сторонами — в данном случае между человеком-наблюдателем и звездами; и эти-то отношение переносятся в область, где обе стороны нам совершенно неведомы.

Если пространственность вытекает из условий, в которые поставлен наблюдатель, то наблюдателем не может быть наше физическое я, так как наше физическое тело, подобно всем предметам вокруг него, погружено также в пространство.

Эту идею Кант применял не только к интуициям чувства, но и к концепциям разума; где бы он ни встретился с универсальным утверждением, ему представлялся благоприятный случай для применение его принципа. Он построил систему, в которой трудно решить, чему следует больше удивляться: его строительному искусству, или его умолчанию по отношению вещей самих в себе и по отношению наблюдателя самого в себе.

Его систему можно сравнить с садом, быть может, слишком уж чистеньким, но очаровывающим каким-то сверхынтеллектуальным достоинством, какой-то приятной безмятежностью и изящной скромностью. И в этом, столь заботливо возделанном саду, при помощи уютно скрытой в тени науки, произрастают цветы и древо действительного познание.

Его критика—это собрание идей захватывающего интереса. Одна из них, сущность которой вкратце мною изложена, ведет, как мы увидим при обстоятельном ее исследовании, к теории математики, побуждающей к исследованиям во многих направлениях.

Оправдание для моего отзыва может быть найдено, между прочим, в той части трансцендентальной аналитики, в которой Кант говорит ο предметах опыта, подчиненных формам чувствительности, но не подчиненных концепциям разума.

Кант утверждает, что при каких бы обстоятельствах мы ни думали, мы думаем ο предметах в пространстве и во времени, но он отрицает, что пространство и время существуют в качестве независимых сущностей. Он старается объяснить их и их универсальность, не принимая их существование за нечто доказанное, как поступает большинство прочих философов, но, напротив, предполагая их отсутствие. Следовательно, как это могло случиться, что мир представляется нам в пространстве и во времени?

Кант занимает такое же положение в отношении того, что мы называем природою — великою системою, подчиненною закону и порядку. Мы спрашиваем философов: «как вы объясняете закон и порядок в природе?» Все, за исключением Канта, отвечают, предполагая закон и порядок существующими где-либо, а затем показывая, каким образом мы можем в них убедиться.

Объясняя наши понятие, философы, не разделяющие воззрений Канта, принимают, что понятие существуют вне нас; а тогда не трудно уже показать, как они в нас развиваются — путем ли вдохновения, или путем наблюдение.

Мы спрашиваем: «почему мы обладаем идеею ο законах в природе?» Нам отвечают: «потому, что всякие процессы в природе совершаются согласно законам, а унаследованный или личный опыт прививают нам это понятие».

Но когда говорим ο законе в природе, мы подразумеваем наше собственное ο нем понятие. Таким образом все, достигаемое этими толкователями, сводится к объяснению нашего понятие путем присвоение его извне.

Кант рассуждает иначе. Он ничего не предполагает. Опыт, подобный нашему, весьма отличается от опыта в отвлеченностях. Вообразите себе просто опыт, ряд состояний, ряд сознаний! Между любыми двумя состояниями не было бы никакой связи, не было бы тожества личности, не было бы памяти. Такой опыт невозможен на практике; по отношению ко всему тому, что мы называем реальным, он значил бы меньше, чем сновидение.

Кант приступает к проблеме истолкование пространства, времени и порядка в природе и, совершенно логично, не соглашается вперед предполагать их существование.

Но если каждый акт мысли основывается на вещах в пространстве и во времени и подчинен известному порядку, то каким образом мы можем представить себе то совершенно неопределённое нечто, которое является неизбежною гипотезою по Канту и которое не обусловливается ни пространством, ни временем, ни порядком. В этом и заключается наша задача, чтобы представить то, что Кант считает не подчиняющимся ни одной из наших форм мысли, а затем, чтобы указать на некоторую функцию, благодаря которой это нечто становится «природой», подчиненной закону и порядку в пространстве и во времени. Такую функцию Кант называет «единством апперцепции», функцию, делающую состояние нашего сознание способным вплетать в одну систему с нашим я — внешний мир, память, закон, причину и порядок.

Затруднение, встречаемое нами при обсуждении гипотезы Канта, заключается в том, что все, ο чем бы мы ни думали, находится в пространстве и во времени, а следовательно, напрашивается вопрос, каким образом мы должны представлять себе в пространстве некоторое существование вне пространства, а также — во времени некоторое существование вне времени? Это затруднение становится еще более очевидным, когда мы пожелаем построить полиграф, так как полиграф сводится, в сущности, к построению пространства. Но как раз по причине большей очевидности затруднение приближаемся к разрешению проблемы. Если мы всегда мыслим в терминах пространства, т. е. прибегаем к пространственным концепциям, то первым необходимым условием для согласование этих концепций с представлением непространственного существование является освоение с той истиною, что мысль наша ограничена. Таким образом Мы приобретаем возможность предпринять надлежащие меры для борьбы с этой ограниченностью. Следовательно, задача наша сводится к представлению в пространстве существование независимого от пространства.

Разрешение задачи нетрудно. Оно достигается посредством понятие об альтернативности (чередовании).

Для того, чтобы лучше выяснить наши идеи, обратимся к различиям между внутренним и внешним мирами. Оба они, говорит Кант, являются лишь продуктами. Возьмем просто некоторые состояние сознание и не будем задаваться вопросом, порождены ли они в нас естественным путем, или дарованы свыше; задаваться подобным вопросом, значило бы забегать слишком вперед, или предполагать нечто такое, происхождение чего мы еще не доискались. Об этих состояниях скажем лишь, что, дескать, они действительно случаются. Состояние сознание, проявляющееся в последней возможной степени мимолетности, назовем «достоверностью», т. е. сочтем достоверностью ту фазу сознание, ο которой можно одно лишь утверждать, что она действительно имеет место.

Пусть а, , с будут три таких достоверности. Мы не можем представить их в пространстве, не разместив их в (известном порядке, как, например, а, , с. Но Кант делает различие между формами чувствительности и концепциями разума. Сновидение, в котором все происходит случайно, принадлежит к формам чувствительности и только частью относится к деятельности разума. Оно потому только частью подчинено деятельности разума, что хотя в нем ц не наблюдается строго последовательный порядок, все же в любое данное время там есть некоторый порядок. Распознавание вещей только в пространстве составляет форму чувствительности; распознавание же порядка относится к деятельности разума.

Следовательно, чтобы вникнуть в этот процесс, который считается Кантом весьма существенным в порядковом опыте, мы должны вообразить, что эти «достоверности» расположены в пространстве без какого-либо порядка.

Сколько нам известно, они должны следовать в том или ином порядке, например, аbс, bса, са, ас, сbа, bас.

Представить себе их не имеющими никакого порядка, это значит понимать все различные порядки одинаково существующими. Введем понятие об альтернативности, т. е. предположим, например, что порядки аbс и bас одинаково существуют, так, что мы не можем сказать, следует ли a раньше или позже b. Это будет соответствовать внезапному и произвольному изменению a в b и b в a; таким образом, выражаясь словами Канта, возможно будет одну и ту же вещь называть то одним именем, то другим именем совершенно безразлично.

В лице такого опыта мы получаем своего рода хаос, в котором не существует никакого порядка; это такое разнообразие, которое не может быть подчинено никаким соображениям разума.

A существует ли какой-либо процесс, при помощи которого может быть введен порядок в такое разнообразие, — существуют ли какие-нибудь способности в распоряжении сознание, в силу которых может возникнуть порядковый опыт?

В том именно положении, в каком «достоверности» находятся, согласно сделанному выше описанию, это не представляется возможным. Но если мы вообразим некоторую двойственность в разнообразии, то может быть легко показана известная деятельность сознание, которая положит начало порядку в хаосе.

A потому вообразим, что каждая достоверность имеет двойственный вид. Пусть a будет 1 а, в котором двойственный вид представлен сочетанием этих символических знаков. Подобным же образом пусть  будет 2 и с будет 3с, причем 2 и будут представлять двойственный вид , a 2 и с — двойственный вид с.

Так как a может произвольно изменяться в , или в с и т. д., то особенные сочетание, приведенные выше, не могут быть удержаны. Нам следует признать одинаково возможными случайности совпадение и таких форм как 2а, 2 и т. д.; а для того, чтобы получить представление обо всех тех сочетаниях, из которых любая пара попеременно возможна, мы должны соединить каждый вид с каждым видом, т. е. мы должны взять каждую букву с каждым номером.

Применим теперь этот метод представление пространства.

Примечание. В начале следующей главы те самые построение, которые сейчас будут показаны, обставлены большими подробностями и некоторая, быть может, неясность в изложении, находимая читателем в нижеследующих строках, устранится сама собою. Эти построение там продолжены вт. сторону большей множественности измерений, а потому значение процесса, здесь лишь вкратце изложенного, сделается более очевидным.

Возьмите в пространстве три взаимно перпендикулярные оси 1, 2, 3 (фиг. 59) и отметьте на каждой из них по три точки, причем точку общей встречи считайте за первую на каждой оси. Следовательно, посредством трех точек на каждой оси мы определяем 27 положений, т. е. 27 точек в кубической группе, показанной на фиг. 60, которая получается по тому же методу координации, какой был нами раньше описан. Каждому из этих положений может быть присвоено имя в зависимости от соответствующих им оси и точки.

Таким образом, например, точка, обозначенная звездочкою, может быть названа 1c, 2b, 3с, потому что она расположена напротив точки с на 1 оси, напротив точки b на оси и точки с на 3 оси. Обсудим теперь состояние сознание, соответствующие этим положениям. Каждая точка представляет смешение «достоверностей» и разнообразие соответствующего им сознание достигает известной сложности.

Предположите теперь, что эти составные, т. е. точки, расположенные на осях, произвольно сменяются и становятся одна другою, а также и оси сменяются между собою и делаются одна другою и что таковая смена их не регулируется никакой системой, никаким законом, т. е., что никакого порядка для них не существует и что точки, следующие на осях от a к  и с могут следовать и от  к a и с т.

Следовательно, любое из состояний сознание, представленных точками в группе, может перейти в любое другое состояние сознания. Итак, мы получаем представление ο случайном сознании известной степени сложности.

Теперь мы внимательно рассмотрим один частный случай произвольной смены точек а, , с; один такой случай, внимательно обсужденный, бросает свет на все остальное.

Рассмотрите точки на фиг. 61, наименованные 1с, 2а, 3с; 1с, 2с, 3a; 1a, 2с, 3с и обратите внимание на получающиеся результаты вслед за наступлением перемены порядка. Предположим, например, что a переменяется в b и назовем оба получаемые ряда, один до, а другой после смены, — парными рядами.

До смены …. 1с 2а 3с 1с 2с 3 a 1 a 2с Ъс 1 π         „          V парные ряды.

После смены. . 1с 2в 3с 1с 2с 3β 1в 2с Зс J

Точки, окруженные кольцами, представляют второй парный ряд.

Очевидно сознание, представленное в начале первым рядом точек, а потом вторым рядом точек, ничего не будет иметь общего в своих обеих фазах. Оно не будет в состоянии дать какой-либо отчет ο себе. Здесь не будет никакого тожества.

Однако, если бы мы могли найти в кубической группе какой-либо ряд точек, который — при произвольной смене точек на осях, или при смене самих осей — повторялся бы, или, так сказать, воспроизводился бы, то сознание, представляемое этими точками, обладало бы некоторою продолжительностью. Вопреки отсутствию всякого закона я всякого порядка в среде первичных слагаемых, возник бы некоторый порядок, народилась бы система и осуществились бы условие для появления некоторого личного тожества.

Следовательно, вопрос сводится к следующему: Можем ли мы найти такой ряд точек, который был бы самопарным, т. е. был бы таким, что когда какая-нибудь «достоверность» на осях становилась другою достоверностью, или когда которая-либо из осей становилась другою осью, то весь ряд преобразовывался бы таким образом, что тожество его сохранялось бы и возникало бы нечто высшее из общего хаоса?

Такой ряд может быть найден. Рассмотрите ряд, показанный на фиг. 62 и написанный ниже в первой из двух строк.

Ряды

1 1я 2в Зс 1в2аЗс 1с2аЗв 1с 2в За \в2сЗа \а2сЗв

. . J 1с2вЗа 1в2сЗя 1а2сЗя 1а 2в Зс Is 2а Зс 1с2аЗв

самопарные.

Если мы теперь сменим a в с pa с в a, то получим ряд во второй строке, имеющий те же самые члены, какие имеются в левой строке Глядя на чертеж, мы видим, что он просто соответствует вращению фигур как целого [1]). Произвольная смена точек на осях, или смена самих осей, воспроизводят тот же ряд.

Таким образом может быть представлена функция, при помощи которой случайное, беспорядочное сознание в состоянии дать начало сознанию, обладающему некоторою системою и порядком. Заслуживает внимания то обстоятельство, что эта система представляет, собственно, подбор. Из всех форм чередование та только, оказывается, вносит порядок в сознание, которая является самопарною. Подбор придает ей свойство устойчивости.

Можем ли сказать, что устойчивое сознание и есть, собственно, подбор?

Неожиданно выступает некоторая аналогия между Кантом и Дарвином. То, что существует, перестает быть эфемерным в силу свойственной ему черты устойчивости. Нет надобности предполагать какую-нибудь специальную функцию, «способствующую» нарождению устойчивого сознание. Сознание, способное дать себе отчет ο себе самом, характеризуется лишь вышеописанным сочетанием. Существуют всякие сочетание, — а при известного рода сочетании возникает сознание, которое может дать отчет ο себе самом. Сама двойственность, предположенная нами, может быть рассматриваема как возникающая путем процесса подбора.

Дарвин поставил себе задачею объяснить происхождение растительного и животного мира. Он отрицал специфические склонности. Он принимал существование неопределенной изменчивости, т. е. случайности, но в пределах весьма ограниченных, когда вопрос касался величины последовательных изменений. Он показал, что организмы, обладающие признаками устойчивости, —если появляются, то и сохраняются. Таким образом его заключение ο всякой органической структуре, или об организованном существе, сводятся к понятию об обладании признаками устойчивости.

Кант, задумав добиться объяснение не какого-нибудь частного феномена, но вообще всего того, что мы подразумеваем под именем природы, составил себе свое собственное понятие ο происхождении видов, основанное на сознании, наблюдаемом в области фауны и флоры. Он отрицал всякое специфическое расположение элементов сознание, но, ссылаясь на наше собственное сознание, показывал, что то, чем оно походит на каждое другое устойчивое сознание, выражается в способности дать себе отчет в своем существовании.

Он допускает возможность случайного или беспорядочного мира, а поскольку понятие большой и малый не являются для него понятиями безусловными, которыми он мог бы воспользоваться, постольку же он и не ограничивает каким бы то ни было образом случайности и беспорядочности. Но сознание, являющееся устойчивым, должно обладать известными признаками, а именно, теми качествами, которые делают его устойчивым. Сознание, подобное нашему собственному, есть просто сознание, обладающее этими качествами. Главный, существенный признак заключается в том, что Кант называет единством апперцепции, под которою, как мы видели выше, подразумевается некоторый особенный ряд случайных фазисов сознание, но самопарных, а следовательно, и устойчивых.

Как по Дарвину, так и по И\анту причина существование всяких признаков сводится к их стремлению сделаться устойчивыми.

Таким образом, мы можем считать Канта создателем первой ;из современных эволюционных теорий. И, как это часто бывает, первое усилие было самым изумительным по величине своего размаха. Кант не занимается исследованием происхождение какой-нибудь особой части во вселенной, например, происхождение населяющих ее организмов, или ее химических элементов, или ее социальных, человеческих общин. Он просто исследует происхождение целого, — всего того, что обнимается сознанием, происхождение того «мыслимого», прогрессивное осознавание которого составляет познаваемую вселенную.

Такой взгляд на вещи чрезвычайно отличается от тех обыкновенных понятий, согласно коим предполагается, что человек помещен в мире, подобном тому, воображение ο котором у него составилось постепенно; задача человека в этом последнем случае сводится лишь к*ь изучению того, что им разгадано в той модели, какая им самим сфабрикована и выдвинута на сцену.

Нам всем известно, что существует множество вопросов, стараясь ответить на которые, мы должны признать, что такое предположение недопустимо.

Милль, например, объясняет наше понятие ο «законе» существованием неизменного порядка в природе. Но то, что мы называем природою, есть нечто, подсказываемое нашей мыслью. Таким образом, он объясняет появление мысли ο законе и порядке мыслью ο неизменном порядке. Он оставляет проблему в том же положении, в каком ее нашёл.

Теория Канта не единственна и не одинока. Это одна из множества эволюционных теорий. Можно составить себе понятие об ее весе и значении путем сравнение с другими теориями.

Так, в дарвиновском теоретическом мире естественного подбора допускается известное предположение, а именно, предположение неопределенной изменчивости. Это, конечно, незначительная изменчивость, если принимать во внимание только какие-нибудь известные промежутки времени, но она весьма неопределенна и служит к объяснению громадной цепи результатов, при ссылке на целые эпохи превращений.

Тем не менее, этот элемент случайных изменений не есть нечто окончательное. Это лишь стадия предварительная. Все это представляет только предварительный шаг к разрешению чего-то. Если могут появиться разные виды организмов, то те из них, которые выживут, будут обладать такими-то μ такими характерными особенностями. С этого и необходимо начинать исследование, чтобы установить, какого рода организмы зарождаются. Таким образом, кантова гипотеза «случайного сознания» является необходимым началом в деле рационального исследование сознание вообще. Его предположение выдвигает, так сказать, область, в которой мы можем заняться наблюдением явлений. Он указывает на всеобщие законы, с которыми надлежит считаться при опытах. Если, при предположении безусловной случайности составных частей, получатся такие-то и такие результаты опыта, то, какие бы ни были составные части, эти результаты должны быть действительны повсеместно.

Теперь мы обратимся к более внимательному рассмотрению полиграфа, построенного с целью дать пояснение к кантовскому единству апперцепции.

Для того, чтобы показать происхождение порядка из беспорядка, необходимо было принять начало двойственности; мы имели дело с осями и достоверностями на них, — с двумя рядами элементов, из коих оба ряда были хаотичны, — и мы видели, что из взаимных между ними отношений возникает порядок и устанавливается определенная система.

Но случается ли нам наблюдать в природе некоторую двойственность?

Личный опыт сталкивает нас, без сомнения, как с объектами, обладающими порядком, так и с объектами, не способными к порядку. Два корня квадратного уравнения не свидетельствуют ни ο каком порядке. Никто не может сказать, который из них первый. Если какое-либо тело поднимается вертикально, а затем следует под прямым углом к своему первоначальному направлению, никто не может указать на какое-нибудь первенство направление на север, или на восток. Не существует первенства в направлениях вращение. Мы не ассоциируем вращение, имеющие какую бы то ни было последовательность движение по линии, с порядком. Между осями и точками, ο которых мил говорили выше, нет никакого подобного различие. Будет то же самое, примем ли, что существует порядок между вращениями и никакого порядка между точками на осях, или наоборот, усмотрим некоторый порядок между точками и никакого порядка во вращениях. Существо, с бесконечным количеством осей, взаимно перпендикулярных между собою, с некоторою определенною последовательностью между ними и отсутствием всякой последовательности между точками на осях, находилось бы в условиях совершенно не отличимых от того существа, которое, согласно предположению более естественному для нас, имело бы на каждой оси бесконечное число точек, расположенных в известном порядке, и не имело бы никакого порядка в последовательности между осями. Существо в мире, так устроенном, не могло бы отличить поворота от протяжения вдоль оси. Таким образом, скажем для примера, мы могли бы очутиться в мире бесчисленных измерений с тремя произвольными точками на каждом из них, точками, порядок которых совершенно безразличен, или могли бы оказаться в мире с тремя осями произвольной последовательности с бесчисленным количеством точек, расположенных в порядке на каждой оси — и мы не могли бы отличить один мир от другого.

Взятый нами пример не представляет собою ничего искусственного. В природе, действительно, существует такого рода двойственность, которая нам нужна для объяснение происхождение порядка из беспорядка, — а именно, двойственность измерение и положение. Назовем группою ту систему точек, которая остается неизменною, какова бы ни происходила произвольная смена между ее составными частями. Мы замечаем, что группа необходимо включает понятие ο двойственности; она не мыслима без двойственности.

Таким образом, по Канту основной элемент опыта — это группа, а теория групп должна быть самым фундаментальным отделом науки. Благодаря одному выражению в его критике, выдвигают иногда авторитет Канта против предположение, принимающего более чем три измерение в пространстве. Мне кажется, однако, что, в общем, тенденция его теории склоняется в противоположном направлении и указывает на полнейшее разобщение между измерением и положением в измерении.

Если мы видим, что закон и порядок вытекают из условий сознательного опыта, то мы должны понимать природу как нечто самопроизвольное, независимое, неподчиненное никаким утверждениям и измышлениям с нашей стороны, а вместе с тем, как бы нам ни представлялось это нечто, оно должно быть в соответствии с нашей логикою.

Наша же логика — это пространственность в широком смысле; это тот конечный результат подбора устойчивого из неустойчивого, постоянного из изменчивого, порядка из беспорядка, — подбора, совершающегося при помощи элементов группы и свойственной ей двойственности.

Мы ничего не можем утверждать относительно природы; мы можем только делать свои заключение относительно путей, ведущих к постижению природы. Мы можем только сказать, что всякий приобретаемый нами опыт должен быть обусловлен пространством и подчинен нашей логике. Таким образом, изучая геометрические истины, начиная от самых простейших логических отношений до свойств пространства любого числа измерений, мы только наблюдаем самих себя, не упуская из виду условий, при которых мы воспринимаем внешний мир. Если оказывается, что изучаемые нами явление не могут быть объяснены при существовании лишь того пространства, с которым имеем дело, то мы должны освоиться с понятием ο высшем пространстве, для того, чтобы наша логика могла соответствовать предстоящей перед нами задаче.

Итак мы возвращаемся к тому же заключению, к которому раньше пришли путем опыта Если законы познавание природы разумом имеют своим объектом природу, рассматриваемую как совершенную случайность, не подчиненную никакому закону, за исключением закона, обусловливающего процесс подбора, то, быть может, порядок вещей в природе требует иных, особых способностей от интеллекта для его постижение. Быть может начало и происхождение идей следует искать в иной области, а не в способности рассуждать.

В окончательном результате, критика Канта имеет в виду вполне предоставить обыкновенного человека самому себе, оправдывая занятое им практическое положение по отношению к природе и освобождая его от оков его собственных мысленных представлений.

Правдивость картины заключается в производимом ею общем впечатлении. Совершенно напрасно искать указаний на достоинство рисунка, если рассматривать только самые, составляющие его краски. Точно также во всякой системе мысли только лишь совокупность целого приводит нас к познанию природы. Все вообще измерение представляют собою нечто искусственное, но в их множественности мы улавливаем некоторую жизнь природы.

Следовательно, мы должны, — и в этом, мне кажется, состоит надлежащее практическое заключение по этому предмету, — мы должны приступить к накоплению интеллектуальных средств к познаванию все большей и большей сложности как в отношении числа измерений, так и в оценке каждого из них. Такие способы представление должны быть, по необходимости, всегда искусственны, но в множественности элементов, в которых нам приходится разбираться, притом разбираться вначале лишь ощупью, таится наша надежда на действительное постижение природы в окончательном результате.

В заключительной главе к этой части книги я несколько изменю фигуры, служившие нам для иллюстрации теории Канта. Благодаря такому приему, читателю представится возможность увидеть четырехмерную фигуру, которая может быть вычерчена без применение какого-либо специального прибора. К рассмотрению последнего я перейду в свое время.

ГЛАВА Χ. Четырехмерная фигура.

Приведенный в предшествующей главе метод иллюстрации критики Канта доставляет замечательно легкий ,и точный способ построение целого ряда знаменательных фигур в любом количестве измерений.

Для того, чтобы представить себе наше пространство, житель плоскости, как мы видели, должен упразднить одну из своих осей и, подобным же образом, мы должны упразднить одну из наших трех осей, чтобы представить себе высшие формы.

Но существует иной способ такого упразднение, который крайне упрощает построение высших форм.

Обыкновенно мы можем отметить на прямой линии какое угодно количество положений. Точно также число положений в пространстве бесконечно, между тем как существуют только три измерение.

Я предлагаю отказаться от этой бесконечности положений и обсудить те фигуры, какие мы получим, если возьмем лишь столько положений, сколько имеем измерений.

Таким образом я рассматриваю измерение и положение как нечто принадлежащее к двум категориям и, применяя в данном случае обыкновенное правило сочетание каждой единицы одной категории с каждою единицею каждой другой категории, получаю ряд фигур, весьма заслуживающих внимание. Они совершенно точно наполняют пространство любого числа измерений (подобно тому как шестиугольник наполняет плоскую поверхность) путем одинаковых повторений самих себя.

Это может быть выяснено более наглядно посредством следующего простого демонстрирования.

Рассмотрим одно измерение ни одно положение и назовем ось и, а положение о.

Здесь фигуру составляет положение ο на линии г. Возьмем теперь два измерение и два положение на каждом из них.

В данном случае мы имеем два положение ο, 1 на и два положение ο, 1 на у фиг. 63. Это уже обусловливает известное усложнение. Обе линии г и j встречаются в положении, названном нами ο на каждой из них. Будем считать г за направление, начинающееся одинаково из каждого положение на a j за направление, начинающееся одинаково из каждого положение на г. Тогда мы получаем следующую фигуру: — A есть и ог и oj, Β есть 1г и oj и т. д. как показано на фиг. 63. Все положение на AC представляют положение ои. Мы, по желанию, можем их считать точками, сливающимися с линиею AC в направлении г. Таким образом линию AC можем называть линиею ои. Подобным же образом точками на АВ будут те, которые расположены по линии АВ в направлении /; мы можем их назвать точками oj, а линию АВ — линией oj. Линия CD может быть названа линией 1 j, потому что точки на ней отступают в направлении j на расстояние 1.

Следовательно, мы имеем четыре положение или точки, поименованные как выше показано; рассматривая же направление и положение в качестве категорий, мы получаем сочетание двух категорий с двумя категориями. Теперь, подбирать каждую единицу одной категории с каждою единицею каждой другой категории, это значит — брать 1 категории и с ο категории/; затем — брать ο категории и с 1 категории j.

Таким образом мы получаем два положение лежащие на прямой линии ВС, фиг. 64. Мы можем назвать эту пару 10 и 01, если будем помнить, что следует прибавлять в уме к первому из этих символов и, а ко второму j; например 01 представляет краткое выражение для Ог, 1

Обращаясь теперь к нашему пространству, в котором имеются три измерение, мы должны взять три положение в каждом. Примем, что эти положение будут на равных расстояниях вдоль каждой из осей. Эти три оси и три положение на каждой из них показаны на пояснительных чертежах, фиг. 65. Первый из них представляет передние грани куба, а второй — задние грани того же куба. Положение назовем 0, 1, 2; оси — и, j, к. Возьмем основание ABC за исходную грань, от которой определим расстояние в направлении к; следовательно, каждая точка в основании ABC будет представлять одно из положений ok, основание же ABC может быть названо поверхностью ок.

Подобным же образом, отмеряя расстояние от грани ADC, мы видим, что каждое положение на грани ADC есть положение ог, а вся поверхность этой грани может быть названа поверхностью ог. Итак мы усматриваем, что, со введением нового измерение, значение составного символа, подобного «ог», изменяется. На плоскости под ним подразумевалась линия AC. В пространстве под ним подразумевается вся плоскость ACD.

Теперь очевидно, что мы получаем двадцать семь положений с присвоенным каждому из них наименованием. Если читатель вникнет в эту номенклатуру положений, показанных на чертеже, то он легко сам определит название каждому из двадцати семи положений. Например, точка A представляет ог, oj, ok. Она лежит на расстоянии 0 вдоль направление и, на расстоянии 0 вдоль j и на расстоянии 0 вдоль к, а потому может быть кратко выражена — 000, причем здесь надо только понимать, что символы и j к опущены.

Точка, лежащая непосредственно выше A должна быть изображена — 001, потому что она не имеет никакого расстояние в направлениях и )’ц имеет расстояние 1 в направлении к. Точка Β находится на расстоянии 2 от точки А, или от плоскости ADC в направлении г, на расстоянии 0 в направлении j от плоскости ABD и на расстоянии 0 в направлении 1с от плоскости ABC, а следовательно, она должна быть выражена — 200, вместо того, чтобы ее писать 2и, 0j, Ok.

Теперь из этих двадцати семи сочетаний положение и измерение подберем те, которые получаются согласно правилу — каждый одной категории с каждым другим каждой другой категории.

Возьмем 2 (два) категории г. В данном случае мы должны сюда присоединить 1 категории j и, следуя правилу, можем еще взять 0 категории , потому что если бы мы взяли что-нибудь иное из категории fc, το этим мы бы только повторили одну из категорий, уже имеющихся. Например, если возьмем 2г, 1/, το 1 окажется повторно взятою. Получаемая нами точка отмечена на чертеже — 210 на фиг. 66.

Продолжая подобным же образом, мы получаем группу точек, как показано на фиг. 67. Точки соединены линиями, а там, где эти линии скрываются за телом куба, они обозначены пунктиром. Мы видим, что линии образуют фигуру, шестиугольник, который может быть переснят с куба на плоскость. Это фигура, которая может заполнить поверхность площади посредством равных повторений самой себя. Житель плоскости, чтобы представить себе это построение в своей плоскости, взял бы три квадрата для изображение куба. Предположим, что он имеет оси ij в своем пространстве и что к представляет ось, уходящую из его пространства, фиг. 68. На каждом из этих трех, показанных здесь квадратах, отдельно вычерченных, он мог бы выбрать точки, указанные вышеупомянутым правилом, и ему оставалось бы только усмотреть фигуру, определяемую тремя проведенными линиями. Линия от 210 до 120 дана на чертеже; но линия от 201 до 102, или, GK, не дана. Он может определить линию GK, сделав Другой ряд чертежей и выяснив по ним существующее отношение между ее двумя концами.

Пусть он начертит оси и к в своей плоскости, фиг. 69. Тогда ось j выпадает и он получает соответственный чертеж. На первом из этих трех квадратов, фиг. 69, он может найти, руководясь вышеизложенным правилом, две точки 201, 102 — G и К. Здесь они получаются на одной и той же плоскости, почему он в состоянии измерить расстояние между ними, между тем, как на фиг. 68 эти точки G и Κ получались на особых квадратах.

Таким образом, житель плоскости нашел бы, что концы каждой линии отстоят друг от друга на длину диагонали единичного квадрата и мог бы тогда разместить три линии в правильном соотносительном их положении. Соединив их между собою, >он получил бы очертание шестиугольника.

Мы можем отметить также, что житель плоскости в состоянии был бы представить себе весь куб одновременно. Три квадрата, показанные в перспективе на фиг. 70, лежат все в одной плоскости и на них житель плоскости мог бы сделать необходимый подбор точек совершенно так же, как и на трех отдельных квадратах. Он получил бы шестиугольник, соединив отмеченные точки. На чертеже этот шестиугольник представляет правильную форму, но он не был бы таким, если бы взять действительные квадраты, а не в перспективе, так как отношение между отдельными квадратами, показанными на плоскости, не соответствует их действительному соотношению. Однако, вся фигура, таким образом построенная, дала бы ему некоторое представление ο правильной фигуре и он мог бы определить ее точно, имея в виду, что, при переходе от одного квадрата к другому, следует принимать во внимание их протяженность в третьем измерении.

Обратимся теперь к построению фигуры, составленной, согласно нашему правилу, путем выбора мз всей массы точек, получающихся при четырех осях и при четырех положениях на каждой из осей. Но прежде всего мы должны начертить сборную фигуру, в которой показаны все эти точки.

Мы можем изобразить собрание этих точек при помощи четырех фигур. Первая из них даст все те положения, которые находятся на 0 расстоянии от нашего пространства в четвертом измерении; вторая покажет все те положение, которые находятся на 1 расстоянии и т. д.

Каждая из этих фигур будет кубом. На первых двух изображены лицевые грани, на вторых двух — задние грани кубов. Мы отметим точки 0, 1, 2, 3, расставляя их на таких именно расстояниях вдоль каждой из осей; затем предположим, что все эти точки соответствуют точкам на высшем кубическом теле, некоторым изображением которого служит наш чертеж на фиг. 71. Здесь мы заметим, что подобно тому, как на плоскости подразумевалась под 0и вся линия, от которой измерялись расстояние в направлении и подобно тому, как в пространстве под 0и подразумевается вся плоскость, от которой измеряются расстояние в направлении и, так теперь под 0h подразумевается все пространство, в котором расположен первый куб и от которого отмеривается расстояние в направлении второго куба.

Приступая, согласно правилу, к подбору каждого одной категории с каждым другим каждой другой категории, мы должны взять, например, Зи, 2j, 11с, Oh. Эта точка 3210 соответствует той точке, которая отмечена на чертеже нижней звездочкой. Она расположена на расстоянии 3 в направлении и, 2 в направлении j, 1 в .направлении к и 0 в направлении h.

С Зг мы должны также взять \j, 21с, Oh. Эта точка показана второю звездочкою на кубе Oh.

Так как в первом кубе все точки являются Oh, το видоизменение мы можем получить лишь г, j, 1с, сопровождаемые 3, 2, 1.

На чертеже, фиг. 72, отмечены определенные точки и проведены линии, соединяющие смежные пары точек на каждой фигуре. Линии, на первых двух диаграммах, проходящие внутри вещества куба, обозначены пунктиром.

Против каждой точки, по одну или по другую сторону каждого куба, написано ее название. Следует обратить внимание, что фигуры симметричны справа и слева, и что оба, правый и левый номера, просто, как будто, перестановлены.

Спрашивается теперь, какую фигуру составят в совокупности избранные нами точки, если их сложить все вместе в соответственных положениях?

Чтобы решить эту задачу, мы должны определить расстояние между соответственными углами отдельных шестиугольников.

Для этого удержим в нашем пространстве оси и и j, а вместо оси 1с начертим ось h, дозволив выпасть оси 1с в четвертом измерении, фиг. 73.

Здесь мы опять имеем четыре куба, в первом из которых все точки являются точками OA·, τ. е. точками, расположенными в нулевом расстоянии в направлении к от трехмерного пространства, определяемого осями г, j, h. Мы получаем вс^е точки, подобранные раньше; некоторые же из расстояний, которые на последней диаграмме приходилось искать на разных фигурах, здесь показаны на одной и той же фигуре и, таким образом, эти расстояние поддаются теперь измерению. Возьмите, например, точки 3120 и 3021, которые на первой диаграмме (фиг. 72) лежат на первой и на второй фигурах. Их действительное соотношение показано на фиг. 73, на кубе, обозначенном 2к, где упомянутые точки отмечены звездочками. Мы видим, что расстояние между ними составляет диагональ квадрата единицы. Подобным же образом мы находим, что расстояние между соответственными точками двух любых шестиугольных фигур есть диагональ единичного квадрата. Теперь и вся фигура может быть легко построена. Идею ο такой фигуре можно себе составить, соединив все четыре куба в одну составную фигуру (фиг. 74). Эти кубы представляют точное повторение друг друга, настолько один чертеж служит воспроизведением целых серий чертежей, при условии если только будем помнить, откуда мы извлекали нужные точки, т. е. из фигуры Oh, или риз \h, 2h, 3h. Фиг. 74 представляет все сборные кубы, совмещенные в один куб. Для ясности лицевые и задние грани этого куба представлены отдельно.

Фигура, определяющаяся этими избранными точками, показана внизу на фиг. 74.

При складывании вместе отдельных сечений, некоторые из их очертаний исчезают. Например, линия TW становится ненужною.

Обратите внимание, что линии PQTW и TWRS составляют каждая половину шестиугольника. QV и VR лежат на одной прямой линии. Следовательно, эти два шестиугольника подобны и образуют один шестиугольник; линия же TW нужна только тогда, когда мы рассматриваем сечение всей фигуры. Таким образом у нас получается тело, изображенное в нижней части фиг. 74. Равные повторение такого тела, называемого четырнадцатигранником (tetrakaidecagon) выполняют трёхмерное пространство.

Чтобы получить соответственную четырехмерную фигуру, мы должны взять пять осей, взаимно перпендикулярных, с пятью точками на каждой оси. Перечень положений, определяющихся в пятимерном пространстве, может быть найден следующим образом.

Возьмите куб с пятью точками на каждой из его осей; пятая точка будет на расстоянии четырех единиц длины от первой точки, находящейся на каждой из осей. A так как четвертое измерение также простирается на расстояние четырех, то для изображение последовательных рядов точек на расстояниях 0, 1, 2, 3, 4 в четвертых измерениях нам понадобится пять кубов. Все они не простираются ни на какое расстояние в пятом измерении. Чтобы изобразить то, что лежит в пятом измерении, нам следует начертить, начиная от каждого из наших кубов, пять подобных же кубов, изображающих четыре стадии в пятом измерении. Совокупностью этих кубов МЫ достигаем возможности сделать перечень всех точек, показанных на фиг. 75, где L представляет пятое измерение.

Теперь, как мы это и раньше видели, ничто нам не мешает проектировать все кубы, представляющие разные стадии в четвертом измерении, в одну фигуру, коль скоро, глядя на нее, не будем упускать из виду в качестве какого куба ее рассматриваем, т. е. в качестве ли куба 0h, или 1 h, или 2h ,и т. д. Проектируя, затем, в одну фигуру кубы каждого из рядов, отдельно Oh, 1 h, 2h, 3h, 4h, мы получаем пять кубов, стороны каждого из которых содержат пять положений; первый из этих пяти кубов изображает точки 01 и заключает в их числе точки г от 0 до 4, точки j от 0 до 4 ,и точки к от 0 до 4. Нам остается только поименовать, что такая-то фигура представляет собрание кубов Oh, или 1 h, 2h, 3h, 4h. На фиг. 76 каждый куб изображен посредством двух чертежей, причем первый из них соответствует лицевой части куба, а второй — задней части куба.

Итак, расположим перед собою пять наших кубов и сделаем выборку, согласно принятому нами правилу. Возьмем первую фигуру, в которой все точки являются точками 01. Мы не можем взять 0 с какою-либо другою буквою. Следовательно, удерживая первую фигуру, представляющую положение 01, возьмем прежде всего те собрание точек, которые содержат в себе непременно 1 h. Мы предполагаем, следовательно, что первый куб есть куб 1 h и, что в нем !мы берем г, j, Jc в сочетании с 4, 3 и 2, согласно правилу.

Получаемая нами фигура представляет шестиугольник, как показано на чертеже. Точки по правую сторону составляют те же фигуры, что и по левую сторону и обмениваются лишь первыми двумя числовыми знаками. Предположим, что следующий куб, сохраняя положение 01, представляет сечение на расстоянии 2 в направлении li, а следовательно, все точки будут рассматриваться как точки 2h. Мы получаем тогда область Ы, 2h и имеем сочетание г, j, It с 4, 3, 1. И опять, согласно с правилом, нам надлежит выбрать все такие точки, как 4г, 3;, 1к.

Они показаны на чертеже и, руководствуясь ими, мы легко можем вычертить второй шестиугольник. Следуя дальше по этому пути, можно видеть, что на каждой из пяти фигур получается ряд шестиугольников, которые, будучи сложены вместе, образуют трехмерную фигуру в роде четырнадцатигранника.

Эти отдельные фигуры представляют последовательные стадии, посредством которых можно постичь все четырехмерное тело, в коем они группируются в одно стройное целое.

Первая фигура и последняя изображают четырнадцатигранники. Это два кубические (трехмерные) ограничение фигуры. Другие кубические ограничение могут быть легко установлены. Некоторые из них проходят от одной грани фигуры до соответствующей грани смежной фигуры, как, например, тело, которое простирается от шестиугольного основание первой фигуры до одинакового шестиугольного основание второй фигуры. Такого рода ограничение представляет шестиугольную призму. Шестиугольная призма встречается также и в других частных случаях, как, например, в квадрате у основание первой фигуры, в прямоугольнике у основание второй фигуры и в квадрате у основание третьей фигуры.

И иные кубические ограничение могут быть усмотрены в четырех из этих пяти фигур. Так, имея шестиугольник на вершине первой фигуры, находим на следующей фигуре тоже шестиугольник, стороны которого попеременно несколько удлинены. Вершина третьей фигуры также шестиугольник с другим рядом чередование удлинённых сторон, и, наконец, в четвертой фигуре видим правильный шестиугольник.

Эти четыре сечение представляют сечение четырнадцатиугольника, что может быть усмотрено п из тех сечений этой фигуры, с которыми мы познакомились раньше. Итак, существуют двух родов ограничения: шестиугольные призмы и четырнадцатигранники.

Эти-то четырехмерные фигуры совершенно выполняют четырехмерное пространство при одинаковом повторении их самих.

---